Ejercicio: Calcula la recta tangente y normal de las siguientes funciones en el punto que se indica
MATEMÁTICAS
Derivadas de funciones
Ejercicio: Calcular las derivadas usando la definición de derivada en general
$$1) \ f(x)=k $$
$$1) \ f(x)=x^2 $$
$$1) \ f(x)=\sqrt{x} $$
Solución:
$$1) \ f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{k – k}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$
$$2) \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 – x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 – x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$
$$3) \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} – \sqrt{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x + h} – \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) – x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la definición de derivada en un punto:
$$1) \ f(x) = 3x – 2 \ \text{ en } x = 1$$
$$2) \ f(x) = -2x + 1 \ \text{ en } x = -3$$
$$3) \ f(x) = x^2 – 4 \ \text{ en } x = -2$$
$$4) \ f(x) = -x^2 + 5x – 3 \ \text{ en } x = 1$$
Solución:
$$1) \ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) – f(1)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{3(1 + h) – 2 – (3 – 2)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{3 + 3h – 2 – 3 + 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$$
$$2) \ f'(-3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-3 + h) – f(-3)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-2(-3 + h) + 1 – [-2 \cdot (-3) + 1]}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{6 – 2h + 1 – 6 – 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h}{h} = -2$$
$$3) \ f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-2 + h) – f(-2)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{(-2 + h)^2 – 4 – [(-2)^2 – 4]}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{4 – 4h + h^2 – 4 – 0}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(-4 + h)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} (-4 + h) = -4$$
$$4) \ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) – f(1)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-(1 + h)^2 + 5(1 + h) – 3 – (-1^2 + 5 \cdot 1 – 3)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-1 – 2h – h^2 + 5 + 5h – 3 + 1 – 5 + 3}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-h^2 + 3h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(-h + 3)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} (-h + 3) = 3$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel básico)
$$1) \ f(x) = 4x^5 – 3x^3 + 2x – 7$$
$$2) \ f(x) = \frac{1}{2}x^4 + 5x^2 – \pi$$
$$3) \ f(x) = (x^2 + 1)(x – 3)$$
$$4) \ f(x) = 10x^6 – x$$
$$5) \ f(x) = 2x^3 – 8x^2 + 4x$$
$$6) \ f(x) = \frac{3}{x^2}$$
$$7) \ f(x) = \frac{x+1}{x-1}$$
$$8) \ f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 4}$$
$$9) \ f(x) = \frac{1}{x^3 + x}$$
$$10) \ f(x) = \frac{x^2 – 1}{2x}$$
$$11) \ f(x) = \ln(x^2 + 1)$$
$$12) \ f(x) = \log_{10}(5x)$$
$$13) \ f(x) = \log_2(x)$$
$$14) \ f(x) = \log_3(x^2 – x)$$
$$15) \ f(x) = \ln(\sqrt{x})$$
$$16) \ f(x) = e^{3x}$$
$$17) \ f(x) = 2^x$$
$$18) \ f(x) = 5^{x^2}$$
$$19) \ f(x) = 10^{\sin(x)}$$
$$20) \ f(x) = e^{-x^2}$$
$$21) \ f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$$
$$22) \ f(x) = \sqrt[3]{x^4 – 2x}$$
$$23) \ f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$$
$$24) \ f(x) = \sqrt[5]{(3x + 1)^2}$$
$$25) \ f(x) = x \cdot \sqrt{x – 1}$$
Solución:
$$1) \ f'(x) = 20x^4 – 9x^2 + 2$$
$$2) \ f'(x) = 2x^3 + 10x$$
$$3) \ f'(x) = 3x^2 – 6x + 1$$
$$4) \ f'(x) = 60x^5 – 1$$
$$5) \ f'(x) = 6x^2 – 16x + 4$$
$$6) \ f'(x) = -\frac{6}{x^3}$$
$$7) \ f'(x) = -\frac{2}{(x-1)^2}$$
$$8) \ f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}$$
$$9) \ f'(x) = -\frac{3x^2 + 1}{(x^3 + x)^2}$$
$$10) \ f'(x) = \frac{x^2 + 1}{2x^2}$$
$$11) \ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$
$$12) \ f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}$$
$$13) \ f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$$
$$14) \ f'(x) = \frac{2x – 1}{(x^2 – x) \ln 3}$$
$$15) \ f'(x) = \frac{1}{2x}$$
$$16) \ f'(x) = 3e^{3x}$$
$$17) \ f'(x) = 2^x \ln 2$$
$$18) \ f'(x) = 2x \cdot 5^{x^2} \ln 5$$
$$19) \ f'(x) = \cos(x) \cdot 10^{\sin(x)} \ln 10$$
$$20) \ f'(x) = -2x e^{-x^2}$$
$$21) \ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$$
$$22) \ f'(x) = \frac{4x^3 – 2}{3\sqrt[3]{(x^4 – 2x)^2}}$$
$$23) \ f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$
$$24) \ f'(x) = \frac{6}{5\sqrt[5]{(3x + 1)^3}}$$
$$25) \ f'(x) = \sqrt{x – 1} + \frac{x}{2\sqrt{x – 1}} = \frac{3x – 2}{2\sqrt{x – 1}}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel básico)
$$1) \ a(x) = 3x^2$$
$$2) \ b(x) = \sqrt{x}$$
$$3) \ c(x) = e^x$$
$$4) \ d(x) = \ln(x)$$
$$5) \ e(x) = 2x^3 + 4x^2 – 7x + 1$$
$$6) \ f(x) = \frac{1}{x}$$
$$7) \ g(x) = \sin(x)$$
$$8) \ h(x) = \cos(x)$$
$$9) \ i(x) = \tan(x)$$
$$10) \ j(x) = e^{2x}$$
$$11) \ k(x) = \ln(2x)$$
$$12) \ l(x) = \sqrt{3x + 1}$$
$$13) \ m(x) = \frac{3}{x^2}$$
$$14) \ n(x) = \sin(2x)$$
$$15) \ ñ(x) = \cos(3x)$$
$$16) \ o(x) = \tan^2(x)$$
$$17) \ p(x) = e^{3x} + 2e^{2x} + e^x$$
$$18) \ q(x) = \ln(x^2 + 1)$$
$$19) \ r(x) = \sqrt{4x^2 + 1}$$
$$20) \ s(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$
Solución:
$$1) \ a'(x) = 6x$$
$$2) \ b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$3) \ c'(x) = e^x$$
$$4) \ d'(x) = \frac{1}{x}$$
$$5) \ e'(x) = 6x^2 + 8x – 7$$
$$6) \ f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$
$$7) \ g'(x) = \cos(x)$$
$$8) \ h'(x) = -\sin(x)$$
$$9) \ i'(x) = \sec^2(x)$$
$$10) \ j'(x) = 2e^{2x}$$
$$11) \ k'(x) = \frac{1}{x}$$
$$12) \ l'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$$
$$13) \ m'(x) = -\frac{6}{x^3}$$
$$14) \ n'(x) = 2 \cos(2x)$$
$$15) \ ñ'(x) = -3 \sin(3x)$$
$$16) \ o'(x) = 2 \tan(x) \sec^2(x)$$
$$17) \ p'(x) = 3e^{3x} + 4e^{2x} + e^x$$
$$18) \ q'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$
$$19) \ r'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$
$$20) \ s'(x) = \frac{2(1 – x^2)}{(x^2 + 1)^2}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel intermedio)
$$1) \ y = (1 + 4x^3) \cdot (1 + 2x^2)$$
$$2) \ y = \sqrt[5]{\left( \frac{x^2}{1 – x^2} \right)^3}$$
$$3) \ y = \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$$
$$4) \ y = \csc \frac{x}{a}$$
$$5) \ y = \log \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x + 1}$$
$$6) \ y = \sin^3 2x – \cos^3 2x$$
$$7) \ y = \sin [ \ln(3x + 5) ]$$
$$8) \ y = (\sin x)^x$$
$$9) \ y = (\sin x)^{\sin x}$$
$$10) \ y = \log_x (x^2 + 1)$$
$$11) \ y = \arcsin(\cos x – x)$$
$$12) \ y = (\ln x)^{\ln x}$$
$$13) \ y = \arccos \sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}}$$
$$14) \ y = \arctan \sqrt{x^2 – 1}$$
$$15) \ y = \ln (\arctan x)$$
$$16) \ y = (\arcsin e^x)(\arccos 5^x)$$
$$17) \ y = \frac{1}{x} + \arctan x$$
$$18) \ y = \sqrt{a^2 – x^2} + a \cdot \arcsin \frac{x}{a}$$
$$19) \ y = x \cdot [\sin(\ln x) – \cos(\ln x)]$$
$$20) \ y = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$
Solución:
$$1) \ y’ = 20x^4 + 12x^2 + 8x$$
$$2) \ y’ = \frac{6x}{5(1-x^2)^2 \sqrt[5]{\frac{x^2}{1-x^2}^2}}$$
$$3) \ y’ = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
$$4) \ y’ = -\frac{1}{a} \csc \frac{x}{a} \cot \frac{x}{a}$$
$$5) \ y’ = \frac{1}{\ln 10} \left( \frac{x}{x^2-1} – \frac{1}{x+1} \right)$$
$$6) \ y’ = 6 \sin^2 2x \cos 2x + 6 \cos^2 2x \sin 2x$$
$$7) \ y’ = \frac{3 \cos(\ln(3x+5))}{3x+5}$$
$$8) \ y’ = (\sin x)^x \left( \ln(\sin x) + x \cot x \right)$$
$$9) \ y’ = (\sin x)^{\sin x} \cos x (\ln(\sin x) + 1)$$
$$10) \ y’ = \frac{2x}{(x^2+1)\ln x} – \frac{\ln(x^2+1)}{x(\ln x)^2}$$
$$11) \ y’ = \frac{\sin x + 1}{\sqrt{1 – (\cos x – x)^2}}$$
$$12) \ y’ = (\ln x)^{\ln x} \frac{\ln(\ln x) + 1}{x}$$
$$13) \ y’ = \frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2}}$$
$$14) \ y’ = \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}}$$
$$15) \ y’ = \frac{1}{(1+x^2) \arctan x}$$
$$16) \ y’ = \frac{e^x \arccos 5^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} – \frac{5^x \ln 5 \arcsin e^x}{\sqrt{1-5^{2x}}}$$
$$17) \ y’ = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2}$$
$$18) \ y’ = 2\sqrt{a^2-x^2}$$
$$19) \ y’ = 2 \sin(\ln x)$$
$$20) \ y’ = \frac{1}{1+x^2}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel avanzado)
$$1) \ a(x) = \frac{x^2 – 3}{x^2 + 3}$$
$$2) \ b(x) = \sqrt[3]{3x^2} $$
$$3) \ c(x) = \left( \frac{1 – x}{1 + x} \right)^{\frac{2}{3}}$$
$$4) \ d(x) = \frac{2}{x} + \frac{x^2}{2} $$
$$5) \ e(x) = \frac{\ln x}{x} $$
$$6) \ f(x) = 7e^{-x}$$
$$7) \ g(x) = \frac{e^{2x} \sin^{2}(x)}{\sqrt{x^{3} + 1}}$$
$$8) \ h(x) = \ln(\cos(x) + 2)$$
$$9) \ i(x) = x^{2} \cdot e^{-x}$$
$$10) \ j(x) = \frac{\tan(x)}{\cos^{2}(x)}$$
$$11) \ k(x) = \frac{e^{3x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$$
$$12) \ l(x) = \ln \left( \frac{1 + e^{2x}}{x^{2} + 2} \right)$$
$$13) \ y = \sqrt{x} – \arctan \sqrt{x}$$
Solución:
$$1) \ a'(x) = \frac{12x}{(x^2 + 3)^2}$$
$$2) \ b'(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{9x}}$$
$$3) \ c'(x) = \frac{-4}{3 \sqrt[3]{(1 – x)(1 + x)^5}}$$
$$4) \ d'(x) = -\frac{2}{x^2} + x = \frac{x^3 – 2}{x^2}$$
$$5) \ e'(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2}$$
$$6) \ f'(x) = -7e^{-x}$$
$$7) \ g'(x) = \frac{e^{2x} (4 \sin(x) \cos(x) \sqrt{x^{3} + 1} + \sin^{2}(x)) – \frac{3}{2} x^{2} e^{2x} \sin^{2}(x)}{(x^{3} + 1)^{3/2}}$$
$$8) \ h'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x) + 2}$$
$$9) \ i'(x) = 2x e^{-x} – x^{2} e^{-x}$$
$$10) \ j'(x) = \frac{\sec^{2}(x) – 2 \tan(x) \sec(x)}{\cos^{4}(x)}$$
$$11) \ k'(x) = \frac{3e^{3x}(1 + e^{2x}) – \frac{1}{2} e^{5x}}{(1 + e^{2x})^{3/2}}$$
$$12) \ l'(x) = \frac{-4x e^{2x} + 2x e^{2x} \ln(x^{2} + 2) + e^{2x}}{(x^{2} + 2)(1 + e^{2x})}$$
$$13) \ y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$$
Funciones: continuidad y derivabilidad de una función
Ejercicio: Estudia la continuidad o discontinuidad de las siguientes funciones en el punto x=1
Solución:
Ejercicio: Calcula el valor de la incógnita k para que la función sea continua:
Soluciones:
Ejercicio: Analiza la derivabilidad de estas funciones
Solución:
Ejercicio: Estudia la derivabilidad en los puntos indicados
Soluciones:
Funciones: Análisis de funciones
Ejercicio: Analiza el dominio, crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones
a)\( f(x)= \large \frac{x^3} {x^2-4}\)
b) \( f(x)=ln \: (x^2+4x-5)\)
c) \( f(x)=\large \frac{3x}{1+x^2}\)
Solución:
a) Dominio R – {-2,+2}
b) Dominio (-∞,-5) U (1,+∞)
c) Dominio = R
Ejercicio: Analiza crecimiento, decrecimiento, concavidad, convecidad, máximos, mínimos y los puntos de inflexión de las siguientes funciones:
a) \( y= x^3 – 6x^2 + 9x \)
b) \( y= \frac{x^3 (3x-8)}{12}\)
c) \( y=x^4-2x^3 \)
Solulción:
Ejercicio: A partir de la función analiza dominio, rango, puntes de corte, vértice, asíntotas, crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. Luego intenta graficarla.
a) \( f(x)= x^2-4x+3 \)
b) \( f(x)= \large \frac{2}{x-1} \)
c) \( f(x)= \sqrt{x+2} \: – 1 \)
d) \( f(x)= 2^{x} – 3 \)
e) \( f(x)= ln \: (x-1) \)
Solución:
a) Dominio: R, Rango: [-1, +∞), Puntos de corte: (1,0) (3,0) (0,3), Vértice (2,-1), Asíntotas: no tiene, Decrece (-∞,2), Crece (2,+∞), Convexa en todo su dominio
b) Dominio: R-{1}, Rango: R-{0}, Puntos de corte: (0,-2), Asíntotas: AV en x=1, AH en y=0, Decrece (-∞,1) U (1,+∞), Cóncava (-∞,1) Convexa (1,+∞)
c) Dominio: [-2,+∞), Rango: [-1,+∞), Puntos de corte: (-1,0), (0, 0,41), Asíntotas: no tiene, Crece [-2,+∞), Cóncava en todo su dominio
d) Dominio: R, Rango: (-3, +∞), Puntos de corte: (0,-2) (1,58 ,0), Asíntota horizontal en y=-3, Crece en todo su dominio, Convexa en todo su dominio
e) Dominio: (1,+∞) , Rango: R, Puntos de corte: (2,0), Asíntota vertical en x=1, Crece (1,+∞), Cóncava en todo su dominio
Ejercicio: Realiza el análisis de cada función de forma completa:
a) \( y=log_{2} \: (x+1) \)
b) \( y= \large \frac{x^2+1}{x^2-1}\)
Solución:
Integrales de funciones
Inmediatas:
$$\int x^5 \, dx = \frac{x^6}{6} + C$$
$$\int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} + C$$
$$\int x^{-3} \, dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$$
$$\int \sqrt{x} \, dx = \int x^{1/2} \, dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}\sqrt{x^3} + C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} \, dx = \int x^{-1/3} \, dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C$$
$$\int 7x^2 \, dx = 7 \int x^2 \, dx = \frac{7x^3}{3} + C$$
$$\int 5^x \, dx = \frac{5^x}{\ln 5} + C$$
$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$
$$\int \frac{3}{x} \, dx = 3 \ln|x| + C$$
$$\int e^{x+2} \, dx = e^{x+2} + C$$
$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$
$$\int (x^2 + x + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x + C$$
$$\int \frac{x+1}{x} \, dx = \int (1 + \frac{1}{x}) \, dx = x + \ln|x| + C$$
$$\int (x-2)^2 \, dx = \int (x^2 – 4x + 4) \, dx = \int x^2 \, dx – 4 \int x \, dx + 4 \int dx = \frac{x^3}{3} – 4 \frac{x^2}{2} + 4x + C = \frac{x^3}{3} – 2x^2 + 4x + C$$
$$\int \frac{1}{x^4} \, dx = \int x^{-4} \, dx = \frac{x^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3} \frac{1}{x^3} + C$$
$$\int \frac{x^2 – x + 5}{x} \, dx = \int \left( x – 1 + \frac{5}{x} \right) \, dx = \int x \, dx – \int dx + 5 \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^2}{2} – x + 5 \ln|x| + C$$
$$\int \sqrt[3]{x^2} \, dx = \int x^{2/3} \, dx = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5} x^{5/3} + C = \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} + C = \frac{3}{5} x \sqrt[3]{x^2} + C$$
$$\int \frac{1}{5x – 2} \, dx = \frac{1}{5} \int \frac{5}{5x – 2} \, dx = \frac{1}{5} \ln|5x – 2| + C$$
$$\int e^{-3x} \, dx = -\frac{1}{3} \int -3e^{-3x} \, dx = -\frac{1}{3}e^{-3x} + C$$
$$\int (2x + 7)^4 \, dx = \frac{1}{2} \int 2(2x + 7)^4 \, dx = \frac{1}{2} \frac{(2x + 7)^5}{5} + C = \frac{(2x + 7)^5}{10} + C$$
$$\int \sqrt{4x – 1} \, dx = \frac{1}{4} \int 4(4x – 1)^{1/2} \, dx = \frac{1}{4} \frac{(4x – 1)^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{6} \sqrt{(4x – 1)^3} + C$$
$$\int 3^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \int 2 \cdot 3^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \frac{3^{2x}}{\ln 3} + C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{5x + 2}} \, dx = \frac{1}{5} \int 5(5x + 2)^{-1/2} \, dx = \frac{1}{5} \frac{(5x + 2)^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{5} \sqrt{5x + 2} + C$$
$$\int (e^x + e^{-x})^2 \, dx = \int (e^{2x} + 2 + e^{-2x}) \, dx = \frac{1}{2}e^{2x} + 2x – \frac{1}{2}e^{-2x} + C$$
$$\int \frac{1}{x \sqrt[4]{x}} \, dx = \int x^{-5/4} \, dx = \frac{x^{-1/4}}{-1/4} + C = -\frac{4}{\sqrt[4]{x}} + C$$
$$\int \frac{dx}{7 – x} = -\int \frac{-1}{7 – x} \, dx = -\ln|7 – x| + C$$
$$\int \frac{x + 3}{\sqrt{x}} \, dx = \int (x^{1/2} + 3x^{-1/2}) \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} + 6x^{1/2} + C$$
$$\int \frac{x^3 – 1}{x^2} \, dx = \int (x – x^{-2}) \, dx = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x} + C$$
$$\int e^{2x+3} \, dx = \frac{1}{2} \int 2e^{2x+3} \, dx = \frac{1}{2}e^{2x+3} + C$$
$$\int \frac{1}{1 – 3x} \, dx = -\frac{1}{3} \int \frac{-3}{1 – 3x} \, dx = -\frac{1}{3}\ln|1 – 3x| + C$$
$$\int \frac{1}{(4x + 1)^3} \, dx = \frac{1}{4} \int 4(4x + 1)^{-3} \, dx = \frac{(4x + 1)^{-2}}{4(-2)} + C = -\frac{1}{8(4x + 1)^2} + C$$
$$\int \sqrt[3]{5x – 2} \, dx = \frac{1}{5} \int 5(5x – 2)^{1/3} \, dx = \frac{1}{5} \frac{(5x – 2)^{4/3}}{4/3} + C = \frac{3}{20}\sqrt[3]{(5x – 2)^4} + C$$
$$\int \frac{dx}{\sqrt{1 – 2x}} = -\frac{1}{2} \int -2(1 – 2x)^{-1/2} \, dx = -\frac{1}{2} \frac{(1 – 2x)^{1/2}}{1/2} + C = -\sqrt{1 – 2x} + C$$
$$\int (\sqrt{x} – 1)^2 \, dx = \int (x – 2\sqrt{x} + 1) \, dx = \frac{x^2}{2} – \frac{4}{3}x^{3/2} + x + C$$
Por cambio de variable:
$$\int x\sqrt{x-1} \, dx = \begin{pmatrix} t = x-1 \\ dt = dx \end{pmatrix} = \int (t+1)\sqrt{t} \, dt = \int t\sqrt{t} \, dt + \int \sqrt{t} \, dt = \int t \cdot t^{1/2} \, dt + \int t^{1/2} \, dt = \int t^{3/2} \, dt + \int t^{1/2} \, dt = \frac{t^{5/2}}{5/2} + \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{5} t^{5/2} + \frac{2}{3} t^{3/2} + C = \frac{2}{5} (x-1)^{5/2} + \frac{2}{3} (x-1)^{3/2} + C$$
$$\int \frac{x^2}{x^3 – 2} \, dx = \begin{pmatrix} t = x^3 – 2 \\ dt = 3x^2 \, dx \end{pmatrix} = \frac{1}{3} \int \frac{dt}{t} = \frac{1}{3} \ln|t| + C = \frac{1}{3} \ln|x^3 – 2| + C$$
$$\int (e^x – 3)^4 e^x \, dx = \begin{pmatrix} t = e^x – 3 \\ dt = e^x \, dx \end{pmatrix} = \int t^4 \, dt = \frac{t^5}{5} + C = \frac{(e^x – 3)^5}{5} + C$$
$$\int \frac{\ln x}{x} \, dx = \begin{pmatrix} t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x} \, dx \end{pmatrix} = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C = \frac{(\ln |x|)^2}{2} + C$$
$$\int x\sqrt{x^2 + 5} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^2+5 \\ dt = 2x \, dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{2} \int \sqrt{t} \, dt = \frac{1}{2} \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{1}{3}(x^2+5)^{3/2} + C$$
$$\int x e^{x^2} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^2 \\ dt = 2x \, dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{2} \int e^t \, dt = \frac{1}{2} e^t + C = \frac{1}{2} e^{x^2} + C$$
$$\int \frac{(\ln x)^3}{x} \, dx = \left( \begin{matrix} t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x} dx \end{matrix} \right) = \int t^3 \, dt = \frac{t^4}{4} + C = \frac{(\ln x)^4}{4} + C$$
$$\int \frac{x^3}{(x^4 + 1)^2} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^4+1 \\ dt = 4x^3 dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{4} \int t^{-2} \, dt = -\frac{1}{4t} + C = -\frac{1}{4(x^4+1)} + C$$
$$\int \frac{e^x}{\sqrt[3]{e^x + 2}} \, dx = \left( \begin{matrix} t = e^x+2 \\ dt = e^x dx \end{matrix} \right) = \int t^{-1/3} \, dt = \frac{t^{2/3}}{2/3} + C = \frac{3}{2}(e^x+2)^{2/3} + C$$
$$\int \frac{1}{x \sqrt{\ln x}} \, dx = \left( \begin{matrix} t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x} dx \end{matrix} \right) = \int t^{-1/2} \, dt = 2\sqrt{t} + C = 2\sqrt{\ln x} + C$$
$$\int (x-1)(x^2 – 2x + 5)^4 \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^2-2x+5 \\ dt = (2x-2) dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{2} \int t^4 \, dt = \frac{t^5}{10} + C = \frac{(x^2-2x+5)^5}{10} + C$$
$$\int \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \, dx = \left( \begin{matrix} t = \sqrt{x} \\ dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx \end{matrix} \right) = 2 \int e^t \, dt = 2e^t + C = 2e^{\sqrt{x}} + C$$
$$\int \frac{1}{x (\ln x)^2} \, dx = \left( \begin{matrix} t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x} dx \end{matrix} \right) = \int t^{-2} \, dt = -\frac{1}{t} + C = -\frac{1}{\ln x} + C$$
$$\int \frac{x+1}{x^2+2x+3} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^2+2x+3 \\ dt = (2x+2) dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \ln|t| + C = \frac{1}{2} \ln|x^2+2x+3| + C$$
$$\int \frac{e^x}{e^x + 4} \, dx = \left( \begin{matrix} t = e^x + 4 \\ dt = e^x dx \end{matrix} \right) = \int \frac{1}{t} dt = \ln|t| + C = \ln(e^x + 4) + C$$
$$\int x^2 \sqrt{x^3 – 1} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^3 – 1 \\ dt = 3x^2 dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{3} \int \sqrt{t} \, dt = \frac{1}{3} \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{9}(x^3 – 1)^{3/2} + C$$
$$\int \frac{\sqrt{\ln x}}{x} \, dx = \left( \begin{matrix} t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x} dx \end{matrix} \right) = \int \sqrt{t} \, dt = \frac{t^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}(\ln x)^{3/2} + C$$
$$\int (3x + 2)^5 \, dx = \left( \begin{matrix} t = 3x + 2 \\ dt = 3 dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{3} \int t^5 \, dt = \frac{1}{3} \frac{t^6}{6} + C = \frac{(3x + 2)^6}{18} + C$$
$$\int x^2 e^{x^3 + 1} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^3 + 1 \\ dt = 3x^2 dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{3} \int e^t \, dt = \frac{1}{3} e^t + C = \frac{1}{3} e^{x^3 + 1} + C$$
$$\int \frac{1}{x (\ln x)^4} \, dx = \left( \begin{matrix} t = \ln x \\ dt = \frac{1}{x} dx \end{matrix} \right) = \int t^{-4} \, dt = \frac{t^{-3}}{-3} + C = -\frac{1}{3(\ln x)^3} + C$$
$$\int \frac{x}{\sqrt{x^2 – 9}} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^2 – 9 \\ dt = 2x dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt = \frac{1}{2} (2\sqrt{t}) + C = \sqrt{x^2 – 9} + C$$
$$\int e^{-x} (1 – e^{-x})^2 \, dx = \left( \begin{matrix} t = 1 – e^{-x} \\ dt = e^{-x} dx \end{matrix} \right) = \int t^2 \, dt = \frac{t^3}{3} + C = \frac{(1 – e^{-x})^3}{3} + C$$
$$\int \frac{x^4}{x^5 + 7} \, dx = \left( \begin{matrix} t = x^5 + 7 \\ dt = 5x^4 dx \end{matrix} \right) = \frac{1}{5} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{5} \ln|t| + C = \frac{1}{5} \ln|x^5 + 7| + C$$
$$\int x \sqrt[3]{1 – x^2} \, dx = \left( \begin{matrix} t = 1 – x^2 \\ dt = -2x dx \end{matrix} \right) = -\frac{1}{2} \int t^{1/3} \, dt = -\frac{1}{2} \frac{t^{4/3}}{4/3} + C = -\frac{3}{8}(1 – x^2)^{4/3} + C$$
Ejercicio: Calcula las siguientes integrales por partes:
$$\int \ln x \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x} \\ dv = dx \Rightarrow v = x \end{matrix} \right) = x \ln x – \int x \frac{dx}{x} = x \ln x – \int dx = x \ln x – x + C$$
$$\int xe^x \, dx = \left( \begin{matrix} u = x \Rightarrow du = dx \\ dv = e^x \, dx \Rightarrow v = e^x \end{matrix} \right) = xe^x – \int e^x \, dx = xe^x – e^x + C$$
$$\int x \ln x \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x} \\ dv = x \, dx \Rightarrow v = \frac{x^2}{2} \end{matrix} \right) = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \int x^2 \frac{dx}{x} = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{1}{2} \frac{x^2}{2} + C = \frac{x^2}{2} \ln x – \frac{x^2}{4} + C$$
$$\int x^2 e^x \, dx = \left( \begin{matrix} u = x^2 \Rightarrow du = 2x \, dx \\ dv = e^x \, dx \Rightarrow v = e^x \end{matrix} \right) = x^2 e^x – 2 \int xe^x \, dx = \left( \begin{matrix} u = x \Rightarrow du = dx \\ dv = e^x \, dx \Rightarrow v = e^x \end{matrix} \right) = x^2 e^x – 2 \left[ xe^x – \int e^x \, dx \right] = x^2 e^x – 2xe^x + 2 \int e^x \, dx = x^2 e^x – 2xe^x + 2e^x + C$$
$$\int x e^{3x} \, dx = \left( \begin{matrix} u = x \Rightarrow du = dx \\ dv = e^{3x} \, dx \Rightarrow v = \frac{1}{3}e^{3x} \end{matrix} \right) = \frac{x}{3}e^{3x} – \int \frac{1}{3}e^{3x} \, dx = \frac{x}{3}e^{3x} – \frac{1}{9}e^{3x} + C$$
$$\int x^2 \ln x \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x} \\ dv = x^2 \, dx \Rightarrow v = \frac{x^3}{3} \end{matrix} \right) = \frac{x^3}{3} \ln x – \int \frac{x^3}{3} \frac{dx}{x} = \frac{x^3}{3} \ln x – \frac{1}{3} \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x – \frac{x^3}{9} + C$$
$$\int \sqrt{x} \ln x \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x} \\ dv = x^{1/2} \, dx \Rightarrow v = \frac{2}{3}x^{3/2} \end{matrix} \right) = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x – \int \frac{2}{3}x^{3/2} \frac{dx}{x} = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x – \frac{2}{3} \int x^{1/2} \, dx = \frac{2}{3}x^{3/2} \ln x – \frac{4}{9}x^{3/2} + C$$
$$\int \frac{\ln x}{x^2} \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \\ dv = x^{-2} \, dx \Rightarrow v = -x^{-1} \end{matrix} \right) = -\frac{\ln x}{x} – \int \left(-\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x}\right) \, dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} \, dx = -\frac{\ln x}{x} – \frac{1}{x} + C$$
$$\int x e^{-x} \, dx = \left( \begin{matrix} u = x \Rightarrow du = dx \\ dv = e^{-x} \, dx \Rightarrow v = -e^{-x} \end{matrix} \right) = -x e^{-x} – \int -e^{-x} \, dx = -x e^{-x} – e^{-x} + C$$
$$\int \frac{\ln x}{\sqrt{x}} \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \\ dv = x^{-1/2} \, dx \Rightarrow v = 2x^{1/2} \end{matrix} \right) = 2\sqrt{x} \ln x – \int \frac{2\sqrt{x}}{x} \, dx = 2\sqrt{x} \ln x – 4\sqrt{x} + C$$
$$\int (\ln x)^2 \, dx = \left( \begin{matrix} u = (\ln x)^2 \Rightarrow du = \frac{2 \ln x}{x} dx \\ dv = dx \Rightarrow v = x \end{matrix} \right) = x(\ln x)^2 – 2 \int \ln x \, dx = x(\ln x)^2 – 2(x \ln x – x) + C$$
$$\int (x^2 + 1) e^x \, dx = \left( \begin{matrix} u = x^2 + 1 \Rightarrow du = 2x \, dx \\ dv = e^x \, dx \Rightarrow v = e^x \end{matrix} \right) = (x^2 + 1)e^x – 2 \int x e^x \, dx = (x^2 + 1)e^x – 2(xe^x – e^x) + C$$
$$\int \frac{\ln x}{x^3} \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \\ dv = x^{-3} \, dx \Rightarrow v = -\frac{1}{2x^2} \end{matrix} \right) = -\frac{\ln x}{2x^2} + \int \frac{1}{2x^3} \, dx = -\frac{\ln x}{2x^2} – \frac{1}{4x^2} + C$$
$$\int (2x – 3) e^{2x} \, dx = \left( \begin{matrix} u = 2x – 3 \Rightarrow du = 2 \, dx \\ dv = e^{2x} \, dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}e^{2x} \end{matrix} \right) = \frac{2x – 3}{2}e^{2x} – \int e^{2x} \, dx = \frac{2x – 3}{2}e^{2x} – \frac{1}{2}e^{2x} + C$$
$$\int \ln(\sqrt{x}) \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln(\sqrt{x}) \Rightarrow du = \frac{1}{2x} dx \\ dv = dx \Rightarrow v = x \end{matrix} \right) = x \ln(\sqrt{x}) – \int \frac{x}{2x} \, dx = x \ln(\sqrt{x}) – \frac{1}{2}x + C$$
$$\int (x+5) e^x \, dx = \left( \begin{matrix} u = x+5 \Rightarrow du = dx \\ dv = e^x \, dx \Rightarrow v = e^x \end{matrix} \right) = (x+5)e^x – \int e^x \, dx = (x+5)e^x – e^x + C = (x+4)e^x + C$$
$$\int x^{1/3} \ln x \, dx = \left( \begin{matrix} u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx \\ dv = x^{1/3} \, dx \Rightarrow v = \frac{3}{4}x^{4/3} \end{matrix} \right) = \frac{3}{4}x^{4/3} \ln x – \int \frac{3}{4}x^{1/3} \, dx = \frac{3}{4}x^{4/3} \ln x – \frac{9}{16}x^{4/3} + C$$
Inmediatas Trigonométricas:
$$\int \sin(3x) \, dx = -\frac{1}{3}\cos(3x) + C$$
$$\int x \cos(x) \, dx = x \sin(x) + \cos(x) + C$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \sin^{-1}(x) + C$$
$$\int \frac{\tan(x)}{\cos^2(x)} \, dx = \frac{1}{2}\tan^2(x) + C \text{ o } \frac{1}{2}\sec^2(x) + C$$
$$\int (3e^x – \sin x \, dx = 3 \int e^x \, dx – \int \sin x \, dx = 3e^x + \cos x + C$$
$$\int \frac{3}{5x^2 + 5} \, dx = \frac{3}{5} \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx = \frac{3}{5} \arctan x + C$$
$$\int \sqrt{\frac{4}{9 – 9x^2}} \, dx = \int \sqrt{\frac{4}{9}} \sqrt{\frac{1}{1 – x^2}} \, dx = \sqrt{\frac{4}{9}} \int \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \, dx = \frac{2}{3} \arcsin x + C$$
$$\int \frac{\sin x}{\sqrt{\cos x}} dx = \begin{pmatrix} t = \cos x \\ dt = -\sin x dx \end{pmatrix} = \int \frac{-dt}{\sqrt{t}} = -\int \frac{1}{t^{1/2}} dt = -\int t^{-1/2} dt = -\frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -2t^{1/2} + C = -2\sqrt{t} + C = -2\sqrt{\cos x} + C$$
$$\int x \sin x \, dx = \left( \begin{matrix} u = x \Rightarrow du = dx \\ dv = \sin x \, dx \Rightarrow v = -\cos x \end{matrix} \right) = -x \cos x – \int (-\cos x) \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x + C$$
$$\int \arctan x \, dx = \left( \begin{matrix} u = \arctan x \Rightarrow du = \frac{1}{1+x^2} dx \\ dv = dx \Rightarrow v = x \end{matrix} \right) = x \arctan x – \int \frac{x}{1+x^2} \, dx = x \arctan x – \frac{1}{2} \ln(1+x^2) + C$$
$$\int x \cos(2x) \, dx = \left( \begin{matrix} u = x \Rightarrow du = dx \\ dv = \cos(2x) \, dx \Rightarrow v = \frac{1}{2}\sin(2x) \end{matrix} \right) = \frac{x}{2}\sin(2x) – \int \frac{1}{2}\sin(2x) \, dx = \frac{x}{2}\sin(2x) + \frac{1}{4}\cos(2x) + C$$
Integrales definidas
$$\int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}$$
$$\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln|x| \right]_{1}^{e} = 1 – 0 = 1$$
$$\int_{0}^{4} \sqrt{x} \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3}(8) = \frac{16}{3}$$
$$\int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_{1}^{3} = (9+3) – (1+1) = 10$$
$$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^2} \, dx = [-\frac{1}{x}]_{1}^{2} = -\frac{1}{2} – (-1) = \frac{1}{2}$$
$$\int_{0}^{1} 2^x \, dx = [\frac{2^x}{\ln(2)}]_{0}^{1} = \frac{2}{\ln(2)} – \frac{1}{\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)}$$
$$\int_{0}^{1} (x+1)^3 \, dx = [\frac{(x+1)^4}{4}]_{0}^{1} = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$
$$\int_{-1}^{1} (3x^2 – 1) \, dx = [x^3 – x]_{-1}^{1} = (1-1) – (-1 – (-1)) = 0$$
$$\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = [2\sqrt{x}]_{1}^{9} = 2(3) – 2(1) = 4$$
$$\int_{0}^{2} (x^3 + 3x^2 – 5x + 2) \, dx = [\frac{x^4}{4} + x^3 – \frac{5x^2}{2} + 2x]_{0}^{2} = 4 + 8 – 10 + 4 = 6$$
$$\int_{-1}^{1} (4x^3 – 2x + 6) \, dx = [x^4 – x^2 + 6x]_{-1}^{1} = (1-1+6) – (1-1-6) = 12$$
$$\int_{0}^{3} (x-2)^2 \, dx = \int_{0}^{3} (x^2 – 4x + 4) \, dx = [\frac{x^3}{3} – 2x^2 + 4x]_{0}^{3} = 9 – 18 + 12 = 3$$
Matrices
OPERACIONES CON MATRICES
Ejercicio: Dada las matrices…
$$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$
a) 2A+3B
b) A · B
c) B · A
d) A3
e) A·B-A2
f) 2B + B·A2
Solución:
$$a) \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -9 & 23 \end{pmatrix} \ b) \begin{pmatrix} -2 & 11 \\ -4 & 23 \end{pmatrix} \ c) \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -14 & 18 \end{pmatrix} \\ d) \begin{pmatrix} -13 & 14 \\ -21 & 22 \end{pmatrix}\ e) \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 13 \end{pmatrix} \ f) \begin{pmatrix} 9 & -12 \\ -42 & 54 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: A partir de estas matrices…
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$
a) A + B
b) A · B
c) B · A
d) A2
e) 2A – B
Solución:
$$a) \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \ b) \begin{pmatrix} 4 & 3 & 6 \\ -1 & -3 & 9 \\ 1 & -1 & 7 \end{pmatrix} \ c) \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 9 & 6 \end{pmatrix} \\ \\ d) \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ -4 & 11 & 2 \\ -2 & 8 & 3 \end{pmatrix} \ e) \begin{pmatrix} 0 & -1 & 4 \\ -2 & 7 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: A partir de estas matrices…
$$A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 0 & -6 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 & 2 \\ 4 & 3 & -9 & 7 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 8 \end{pmatrix}$$
a) A+B
b) B + A
c) A + (B+C)
Solución:
$$a) \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 & 7 \\ 8 & 4 & -9 & 1 \end{pmatrix} \ b) \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 & 7 \\ 8 & 4 & -9 & 1 \end{pmatrix} \ c) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 11 & 12 \\ 12 & 1 & -7 & 9 \end{pmatrix}$$
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Ejercicio: Calcualar el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \quad d) \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -25 \end{vmatrix} $$
Solución:
a) -7 b) -3 c) -2 d) 0
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 5 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 1 & 8 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \\ 1 & 6 & -1 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$
$$d) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -7 & 5 \end{vmatrix} \quad e) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 8 \\ 0 & -5 & 5 \\ 1 & -6 & 2 \end{vmatrix} \quad f) \begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & -3 & 2 \end{vmatrix}$$
Solución:
a) -15 b) 0 c) -28 d) 4 e) 60 f) 24
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 8 & 8 & 7 & 18 \\ 8 & 4 & 4 & 9 \\ 4 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 & 9 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 12 & 10 & 27 \\ 8 & 7 & 14 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 13 & 11 & 28 \\ 8 & 7 & 14 \end{vmatrix} \quad d) \begin{vmatrix} 9 & 8 & 7 & 18 \\ 8 & 5 & 4 & 9 \\ 4 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 3 & 9 \end{vmatrix}$$
Solución
a) 8 b) -24 c) -21 d) -72
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 6 & 8 & 7 & 20 \\ 6 & 4 & 4 & 10 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 10 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 3 & 3 & 8 \\ 9 & 10 & 31 \\ 6 & 7 & 16 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 3 & 3 & 8 \\ 10 & 11 & 32 \\ 6 & 7 & 16 \end{vmatrix} \quad d) \begin{vmatrix} 7 & 8 & 7 & 20 \\ 6 & 5 & 4 & 10 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 10 \end{vmatrix}$$
Solución
a) 6 b) -21 c) -16 d) -54
INVERSA DE UNA MATRIZ
Ejercicio: Calcula la inversa de estas matrices
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 9 \end{pmatrix} \quad E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 &2\\ 0 &2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$A = \begin{pmatrix} 3/5 & 2/5 \\ 1/10 & -1/10 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1/6 \\ 0 & 1 & -1/6 \\ 0 & 0 & 1/6 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} -19 & -2 & 11 \\ 5 & 1 & -3 \\ 2 & 0 & -1\end{pmatrix} , E = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 & 0 \\ 3 & -3/2 & -2 & -1/2 \\ -6 &3 & 5 &1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
RANGO DE LA MATRIZ
Ejercicio: Calcular el rango de estas matrices
$$A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & -9 & 15 \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$
$$ E = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \\ -7 & 6 & 9 \end{pmatrix} \quad F = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \quad G = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 0 & 1 \\ 6 & -3 & 7 & -2 \\ 4 & 0 & 7 & -3 \end{pmatrix} \quad H = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 0 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}$$
Solución:
a) 2 b) 1 c) 1 d) 2 e) 3 f) 2 g) 2 h) 3
ECUACIONES MATRICIALES CON NÚMEROS
Ejercicio: Resolve la siguiente ecuación AX=B si…
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: Resolver esta ecuación…
$$X \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} – 3 \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$X = \begin{pmatrix} 27 & -11 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: Resolver esta ecuación… A·X + C = B·X
$$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 &-1 \\ 4&0 & 0 \\2&-1 &3 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \\ 0 &-1 &2 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1\\ 0 &2 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$X=\begin{pmatrix} 0 & -3/5 \\ 2 &16/5 \\ 1 &9/10 \end{pmatrix}$$
ECUACIONES MATRICIALES SIN NÚMEROS
Se trata de despejar la X como en las ecuaciones normales sin matrices pero ahora respetando las propiedades de las matrices inversa, traspuesta, identidad…
Consejos:
– separar lo que tenga X a un lado y lo que no tenga X a otro
– A·X=B se despeja como X=A-1 · B («por donde se golpea a la X se golpea a la B») Error: X=B·A-1
– sacar factor común cuando se pueda X·A+X·B=X(A+B)
– A-1· A = I y A · A-1 = I
Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales de forma general (sin números)
$$a) AX = B \\ b) XA = B \\ c) AX + B = C \\ d) AXB = BA \\ e) XA + C = XB \\ f) AXA^t = A \\ g) AX – X = B \\ h) AXB = C \\ i) BXB = B(X+A)$$
Solución:
$$a) AX = B \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B \rightarrow I \cdot X = A^{-1} \cdot B \rightarrow X = A^{-1} \cdot B$$
$$b) XA = B \rightarrow X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \rightarrow X \cdot I = B \cdot A^{-1} \rightarrow X = B \cdot A^{-1}$$
$$c) AX + B = C \rightarrow AX = C – B \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot (C – B) \rightarrow X = A^{-1} \cdot (C – B)$$
$$d) AXB = BA \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot B \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot B \cdot A \cdot B^{-1} \rightarrow X = A^{-1} \cdot B \cdot A \cdot B^{-1}$$
$$e) XA + C = XB \rightarrow XA – XB = -C \rightarrow X(A – B) = -C \rightarrow X = (-C)(A – B)^{-1}$$
$$f) AXA^t = A \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot A^t \cdot (A^t)^{-1} = A^{-1} \cdot A \cdot (A^t)^{-1} \rightarrow X = (A^t)^{-1}$$
$$g) AX – X = B \rightarrow (A – I)X = B \rightarrow (A – I)^{-1}(A – I)X = (A – I)^{-1} \cdot B \rightarrow X = (A – I)^{-1} \cdot B$$
$$h) AXB = C \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot B \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1} \rightarrow X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$
$$i) BXB = B(X+A) \rightarrow B^{-1} \cdot BXB = B^{-1} \cdot B \cdot (X+A) \rightarrow XB = X+A \rightarrow X(B – I) = A \rightarrow X = A \cdot (B – I)^{-1}$$
Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales de forma general (sin números)
$$a) A^{-1}XB + C = I \\ b)(A + X)B = C \\ c)B(A^t + X) = C \\ d)AXB^{-1} + C = 0 \\ e)AX + BX = -C \\ f)AX + C = BX \\ g)XA + B = CA $$
Solución:
$$a) A^{-1}XB = I – C \rightarrow A \cdot A^{-1}XB \cdot B^{-1} = A \cdot (I – C) \cdot B^{-1} \rightarrow I \cdot X \cdot I = A \cdot (I – C) \cdot B^{-1} \rightarrow X = A \cdot (I – C) \cdot B^{-1}$$
$$b) (A + X)B \cdot B^{-1} = C \cdot B^{-1} \rightarrow (A + X) \cdot I = C \cdot B^{-1} \rightarrow A + X = C \cdot B^{-1} \rightarrow X = C \cdot B^{-1} – A$$
$$c) B^{-1} \cdot B \cdot (A^t + X) = B^{-1} \cdot C \rightarrow I \cdot (A^t + X) = B^{-1} \cdot C \rightarrow A^t + X = B^{-1} \cdot C \rightarrow X = B^{-1} \cdot C – A^t$$
$$d) AXB^{-1} = -C \rightarrow A^{-1} \cdot AXB^{-1} \cdot B = A^{-1} \cdot (-C) \cdot B \rightarrow I \cdot X \cdot I = A^{-1} \cdot (-C) \cdot B \rightarrow X = A^{-1} \cdot (-C) \cdot B$$
$$e) (A + B)X = -C \rightarrow (A + B)^{-1}(A + B) \cdot X = (A + B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow I \cdot X = (A + B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow X = (A + B)^{-1} \cdot (-C)$$
$$f) AX – BX = -C \rightarrow (A – B)X = -C \rightarrow (A – B)^{-1}(A – B) \cdot X = (A – B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow I \cdot X = (A – B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow X = (A – B)^{-1} \cdot (-C)$$
$$g) XA = CA – B \rightarrow XA \cdot A^{-1} = (CA – B) \cdot A^{-1} \rightarrow X \cdot I = (CA – B) \cdot A^{-1} \rightarrow X = (CA – B) \cdot A^{-1}$$
Distribuciones de probabilidad
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Ejercicio: Calcular probabilidades de la variable Z que sigue una distribución normal:
a) P(z<1.2)
b) P(z>0.5)
c) P(−0.5<z<1.2)
d) P(z<−1.75)
e) P(z>2.1)
f) P(z<−0.8)
g) P(−0.8<z<2.1)
h) P(−1.64<z<1.64)
i) P(Z < 0.5)
j) P(Z > 1.2)
k) P(-0.5 < Z < 1.2)
l) P(Z < -1.8)
m) P(Z > -0.7)
n) P(Z>−1.25)
ñ) P(0.5<Z<1.5)
o) P(1<Z<2.2)
p) P(−1.5<Z<−0.5)
q) P(−2<Z<−1)
Solución:
a) 0,8849
b) 0,3085
c) 0,5755
d) 0,0401
e) 0,0179
f) 0,2119
g) 0,7702
h) 0,8990
i) 0,6915
j) 0,1151
k) 0,5764
l) 0,0359
m) 0,7580
n) 0,8944
ñ) 0,2417
o) 0,1448
p) 0,2417
q) 0,1359
Ejercicio: Calcular el valor de k en cada caso (probabilidad inversa).
a) P(Z<k)=0.9332
b) P(Z<k)=0.2743
c) P(Z<k)=0.8413
d) P(Z>k)=0.1587
e) P(Z>k)=0.0250
f) P(Z>k)=0.6915
g) P(0<Z<k)=0.3413
h) P(−1<Z<k)=0.8186
i) P(k<Z<1.5)=0.6247
Solución:
a) k=1,5
b) k=-0,6
c) k=1
d) k= 1
e) k=1,96
f) k=-0,5
g) k=1
h) k=2
i) k=-0,5
Ejercicio: Una variable X sigue una distribución normal N(8,1,5). (Tipificar)
a) Calcular la probabilidad de que sea inferior a 6.
b) Calcular la probabilidad de que sea superior a 3.
c) Calcular la probabilidad de estar entre 2 y 5.
d) Calcular la probabilidad de que sea 4.
e) Calcular la probabilidad de que sea mayor a 10.
f) Calcular la probabilidad de estar entre 6,5 y 9,5.
g) Calcular la probabilidad de que sea inferior a 5.
Solución:
a) P(x<6)=P(Z<-1,33)= 0,0912
b) P(x>3)= P(Z>-3,33)= 0,9996
c) P(2<x<5)=P(-4<Z<-2)= 0,0228
d) P(x=4)= 0
e) P(x>10)=P(Z>1,333)=0,0912
f) P(6,5<x<9,5)=P(-1<Z<1)=0,6826
g) P(x<5)=P(Z<-2)=0,0228
Ejercicio: El peso de los recién nacidos en cierta población sigue una distribución normal con media μ=3.2 kg y desviación típica σ=0.5 kg. Se elige un bebé al azar. Calcular:
a) La probabilidad de que pese entre 3 kg y 3.8 kg.
b) La probabilidad de que pese menos de 2.5 kg.
c) La probabilidad de que pese más de 4 kg.
d) El peso x tal que el 80% de los recién nacidos pese menos que ese valor (percentil 80).
Solución:
a) 0,0808
b) 0,0548
c) 0,5403
d) P(X<ax)=0,8 → P(Z< ax-3,2/0,5)=0,8 → Mirar dentro tabla 0,8 que sería az=0,8416→ ax-3,2/0,5 = 0,8416 → ax=3,6kg
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
TEORÍA DE MUESTRAS
Probabilidad
SUCESOS
Ejercicio:
a) Calcular espacio muestral.
b) Calcular suceso A.
c) Calcular suceso B.
d) Calcular AUB.
e) Calcular A∩B.
d) Calcular A-B.
e) Calcular contrario de A.
Solución:
a) E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}
b) A={2,4,6,8,10,12}
c) B={3,6,9,12}
d) AUB={2,4,8,10,6,12,3,9}
e) A∩B={6,12}
d) A-B={2,4,8,10}
e) Contrario de A={1,5,7,11,3,9}
Ejercicio: En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza un experimento que consiste en extraer una bola al azar de la urna. Define los siguientes sucesos:
a) Suceso C: «El número de la bola extraída es mayor que 5».
b) Suceso A: «El número de la bola extraída es par».
c) Suceso B: «El número de la bola extraída es un múltiplo de 3».
d)Suceso: (A∩B)
e) Suceso: (AUC)
Solución:
a) {2,4,6,8,10}
b) {3,6,9}
c) {6,7,8,9,10}
d) {6}
e) {2,4,6,7,8,9,10}
Ejercicio: A partir del dibujo calcular los siguientes sucesos.
a) A
b) B
c) A-B
d) No B
e) A intersección No B
f) A intersección B
g) A menos la intersección de A y B
h) A unión B
i) No (A intersección B)
j) No A unión No B
Solución:
PROBABILIDAD
Ejercicio: Lanzamos un dado y queremos calcular las siguientes probabilidades:
a) P (par)
b) P (impar)
c) P (resultado mayor a 2)
d) P(resultado menor igual a 5)
e) P (par y resultado mayor a 2)
Solución:
a) {2,4,6} → 3/6
b) {1,3,5} → 3/6
c) {3,4,5,6} → 4/6
d) {1,2,3,4,5} → 5/6
e) {4,6} → 2/6
Ejercicio: Lanzamos una moneda dos veces.
a) Calcular la probabilidad de que salga dos veces cara.
b) Calcular la probabilidad de que salga al menos una cara.
c) Calcula la probabilidad de que no salga ninguna cara.
Solución:
a) espacio muestral {cc, cx, xc, xx} → 1/4
b) espacio muestral {cc, cx, xc, xx} → 3/4
b) espacio muestral {cc, cx, xc, xx} → 1/4
Ejercicio: Sean A y B los sucesos tales que: P[A] = 0,4 ; P[A’∩B] = 0,4; P[A∩B] = 0,1. Calcular P[A ∪ B] y P[B].
Solución:
P[B] = P[A’ ∩ B] + P[A ∩ B] =0,4 + 0,1 = 0,5
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,4 + 0,5 − 0,1 = 0,8
Ejercicio: Sabiendo que: P[A∩B] = 0,2; P[B’] = 0,7; P[A∩B’] =0,5. Calcular P[A∪B] y P[A].
Solución
P[A] = P[A ∩ B’] + P[A ∩ B] = 0,5 + 0,2 = 0,7
P[B] = 1 − P[B’] = 1 − 0,7 = 0,3
P[A ∪ B] = P[A] + P[B] − P[A ∩ B] = 0,7 + 0,3 − 0,2 = 0,8
Ejercicio: De una baraja española (40 cartas; 4 “palos”: oros, copas, espadas y bastos) se extrae una carta y se vuelve a introducir repitiendo esta operación tres veces.
a) ¿Cuál es la probabilidad de sacar tres oros?
b) De la misma baraja se extraen tres cartas a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean copas?
Solución:
a) Como hay reemplazamiento:
P(Sacar tres oros) = 10/40 · 10/40 · 10/40 = 1/64
b) Sin reemplazamiento (las tres cartas a la vez):
P(Sacar tres copas) = 10/40 · 9/39 · 8/38 = 3/247
Ejercicio: Se sabe que en cierto pueblo el 50% de la población tienen coche, el 35% tienen moto y el 22% tienen coche y moto. Se elige al azar un ciudadano del pueblo. Hallar la probabilidad de que:
a) Tenga coche o moto.
b) No tenga ni coche ni moto.
c) Que tenga solo uno de los dos.
Solución:
a) P(CUM)=0,63
b) P(C´∩M´)=1-P(CUM)=0,37
c) P(CUM)-P(C∩M)=0,41
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Ejercicio: Ejercicio: Se sabe que en cierto pueblo el 50% de la población tienen coche, el 35% tienen moto y el 22% tienen coche y moto. Se elige al azar un ciudadano del pueblo. Hallar la probabilidad de que:
a) Sabiendo que tiene coche, que tenga moto.
b) Sabiendo que tiene moto, que no tenga coche.
Solución:
a) P(C/M)=0,62
b) P(C´/M)=1-P(C/M)=0,37
Ejercicio: Si A y B son dos sucesos tales que: P(A)= 0,4 ; P(B/A)=0,25 y P(B´)=0,75.
a) ¿Són A y B independientes?
b) Calcular P(A∩B) y P(A∪B)
Solución:
Ejercicio: Si P(A)=0,5; P(B´)=0,6 y P(A´∩B´)=0,25…
a) ¿Son A y B independientes?
b) Calcula P(A∪B) y P(A/B)
Solución:
Ejercicio: Si P(A´)=0,5; P(A∩B)=0,12 y P(A∪B)=0,82…
a) ¿Son independientes A y B?
b) Calcula P(B´\A)
Solución:
Ejercicio: Una clase tiene 24 alumnos y todos ellos cursan inglés y matemáticas. La mitad aprueban inglés, 16 aprueban matemáticas, y 4 suspenden inglés y matemáticas.
a) Realiza una tabla de contingencia con los resultados de esta clase.
b) En esta clase, ¿son independientes los sucesos “aprobar inglés” y “aprobar matemáticas”?
c) Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno de esta clase al azar, resulte que aprueba
matemáticas y suspende inglés.
Solución:
Ejercicio: En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar Inglés, 36 saben hablar Francés y 12 de ellos hablan los dos idiomas.
Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable Francés, sabiendo que habla Inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable Francés?
Solución:
Ejercicio: En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado Matemáticas, 16 que han aprobado Inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos.
Elegimos al azar un alumno de esa clase:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya aprobado Inglés y Matemáticas?
b) Sabiendo que ha aprobado Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Inglés?
c) ¿Son independientes los sucesos “Aprobar Matemáticas” y “Aprobar Inglés”?
Solución:
Ejercicio: Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide:
a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?
b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea Hombre o Soltero?
d) ¿Son independientes los sucesos “Hombres” y “Casados”?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea Mujer?
Solución:
A 120 estudiantes se les ha recomendado la lectura de dos libros. Se sabe que 46 de ellos han leído el primer libro recomendado, 34 el segundo y 16 estudiantes han leído ambos libros. Se
elige un estudiante al azar.
a) Calcule la probabilidad de que haya leído alguno de los dos libros.
b) Calcule la probabilidad de que no haya leído ninguno de los dos libros.
c) Calcule la probabilidad de que solamente haya leído el primer libro.
d) Calcule la probabilidad de que haya leído el primer libro, si se sabe que no ha leído el segundo.
Solución:
Ejercicio: Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que: P(A-B)=0’3; P(A´)=0’35; P(B)=0’55.
a) Calcule la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos.
b) Calcule la probabilidad de que ocurra B, sabiendo que no ha ocurrido A. c) Calcule la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos. d) Razone si los sucesos A y B son independientes.
Solución:
TABLA CONTINGENCIA
Ejercicio: Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
a) Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.
b) Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c) Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
d) Calcula la probabilidad de que tenga un problema mecánicos o acuda por la Tarde.
Solución:
Ejercicio: En un pueblo hay 100 jóvenes; 40 de los chicos y 35 de las chicas juegan al tenis. El total de chicas en el pueblo es de 45. Si elegimos un joven de esa localidad al azar:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea chico?
b) Si sabemos que juega al tenis, ¿cuál es la probabilidad de que sea chica?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea una chica y que no juegue al tenis?
Solución:
Ejercicio: En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar inglés, 36 saben hablar francés, y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable francés, sabiendo que habla inglés?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable francés?
Solución:
Ejercicio: Se hace una encuesta en un grupo de 120 personas, preguntando si les gusta leer y ver la televisión. Los resultados son:
– A 32 personas les gusta leer y ver la tele.
– A 92 personas les gusta leer.
– A 47 personas les gusta ver la tele.
Si elegimos al azar una de esas personas:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no le guste ver la tele?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer, sabiendo que le gusta ver la tele?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que le guste leer?
Solución:
TEOREMA DE BAYES Y PROBABILIDAD TOTAL
Ejercicio: Una urna contiene 6 bolas rojas y 4 azules. Se extrae una bola al azar y se reemplaza por seis bolas del otro color. A continuación, se vuelve a extraer una segunda bola de la urna.
a) Calcule la probabilidad de que la segunda bola extraída sea roja.
b) Si sabemos que la segunda bola extraída es azul, ¿cuál es la probabilidad de que también lo haya sido la primera?.
Solución:
Ejercicio: Una urna A contiene 4 bolas rojas y 5 verdes y otra urna B contiene 6 bolas rojas y 3 verdes. Lanzamos dos dados y si la suma es mayor o igual a 9, extraemos una bola de la urna A y en caso contrario, la extraemos de la urna B. a) Calcule la probabilidad de que la bola extraída sea verde y de la urna B. b) Halle la probabilidad de que la bola extraída sea roja.
Solución:
Ejercicio: Una bola bolsa, A, contiene 3 bolas rojas y 5 verdes. Otra bolsa, B, contiene 6 bolas rojas y 4 verdes. Lanzamos un dado: si sale un uno, extraemos una bola de la bolsa A; y si no sale un uno, la extraemos de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener una bola roja?
b) Sabiendo que salió roja, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de A?
Solución:
Ejercicio: Tenemos dos bolsas, A y B. En la bolsa A hay 3 bolas blancas y 7 rojas. En la bolsa B hay 6 bolas blancas y 2 rojas. Sacamos una bola de A y la pasamos a B. Después extraemos una bola de B.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída de B sea blanca?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean blancas?
Solución:
Ejercicio: Tenemos dos urnas: la primera tiene 3 bolas rojas, 3 blancas y 4 negras; la segunda tiene 4 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra. Elegimos una urna al azar y extraemos una bola.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea blanca?
b) Sabiendo que la bola extraída fue blanca, ¿cuál es la probabilidad de que fuera de la primera urna?
Solución:
Ejercicio: Una firma de perfumería cuenta con tres cadenas de producción, A, B y C, en las que se envasa su nueva fragancia. La cadena A envasa el 20% del total de perfumes que salen a la venta; la cadena B, el 50%; la C, el 30%. La probabilidad de que un envase sea defectuoso es de 1/3 en A; 1/6 en B y de 1/4 en C. Calcular:
a) La probabilidad de que escogido un envase al azar, este no sea defectuoso.
b) La probabilidad de que un envase no sea defectuoso y proceda de la cadena B.
c) Si un envase es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la cadena C?
Solución:
Ejercicio: En una empresa dedicada a la fabricación de teléfonos móviles, tres máquinas A, B y C, finalizan el proceso de producción con la colocación de las carcasas. La máquina A gestiona el 55% de la producción total de la fábrica; la máquina B, el 30%; la C, el 15%. El 1% de los móviles que han pasado por la máquina A tienen algún defecto en su carcasa. En el caso de la máquina B, se trata del 2%. En la C,
es del 4%.
a) Calcular la probabilidad de que escogido un móvil al azar, éste no tenga defectos en su carcasa.
b) Calcular la probabilidad de que un móvil tenga la carcasa defectuosa y proceda de la máquina C.
c) Se escoge al azar un móvil con deficiencias en su carcasa. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de
haber colocado esa pieza?
Solución:
Ejercicio: Tres personas se encargan de los cobros de la caja de un supermercado. El mes pasado, la primera de ellas realizó el 30% de los cobros, la segunda el 45% y la tercera el resto. La dirección del supermercado ha comprobado que de los cobros realizados por la primera persona, el 1% son erróneos, que la segunda cometió errores en el 3% de los cobros y la tercera en el 2%. a) Calcule la probabilidad de que un cobro elegido al azar haya sido erróneo. b) Se elige al azar un cobro correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido realizado por la segunda persona?
Solución:
Ejercicio: El censo de una población andaluza está compuesto en total por 15000 personas, de las cuales 8500 son mujeres. Se sabe que el 15% de las mujeres y el 20% de los hombres censados en dicha población han viajado alguna vez a un país extranjero. Se elige al azar una persona censada en dicha población. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya viajado al extranjero? b) Si se sabe que esta persona no ha viajado al extranjero, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
Solución:
Ejercicio: Se sabe que el 65% de los estudiantes de bachillerato de Andalucía ha participado en programas Erasmus+ y que de ellos, el 80% ha mejorado su calificación en lengua extranjera. De los estudiantes que no han participado en programas Erasmus+, mejoran su calificación en lengua extranjera el 30%. Se elige al azar un estudiante de bachillerato de Andalucía. a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya mejorado su calificación en lengua extranjera? b) Si se sabe que ha mejorado su calificación en lengua extranjera, ¿cuál es la probabilidad de que haya participado en un programa Erasmus+?
Solución:
Ejercicio: El 47% de los jóvenes andaluces tienen una vida sedentaria. De ellos, el 72% presentan obesidad, mientras que solamente la presentan el 22% de los jóvenes no sedentarios. Se elige al azar un joven andaluz. a) Calcule la probabilidad de que sea sedentario y no presente obesidad. b) Calcule la probabilidad de que presente obesidad. c) Calcule la probabilidad de que sea sedentario, sabiendo que presenta obesidad.
Solución:
Sistema de ecuaciones (bach)
EJERCICIOS SISTEMA DE ECUACIONES
1. EJERCICIO: Cierta marca de pintura es elaborada con tres ingredientes A, B y C, comercializándose en tres tonos diferentes. El primero se prepara con 2 unidades de A, 2 de B y 1 de C; el segundo con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; y el tercero con una unidad de cada ingrediente. El bote del primer tono se vende a 23 euros, el segundo a 17 euros y el tercero a 14 euros. Sabiendo que el margen comercial (o ganancial) es de 3 euros por bote, ¿qué precio por unidad le cuesta a dicha marca de pintura cada uno de los tres ingredientes?
Solución
2. EJERCICIO: Una fábrica de chocolates emplea, para una determinada marca, leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche el doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de los ingredientes por kilo son: leche, 0,80 euros; cacao, 4 euros; y almendra, 10 euros. En un día se fabrican 9 000 kg de chocolate de dicha marca con un coste total de 22 800 euros. ¿Cuántos kg se utilizan de cada componente al día?
Solución
3. EJERCICIO: Para un determinado partido de fútbol se ponen a la venta tres tipos de localidades: fondo, general y tribuna. Se sabe que la relación entre los precios de las localidades de tribuna y general es de 19/18 y entre general y fondo es de 6/5. Si al comprar tres localidades, una de cada caso, se pagan en total 52 euros, ¿cuál es el precio de cada tipo de localidad?
Solución
4. EJERCICIO: Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación de sus billetes asciende a 2 142 euros. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 euros; cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% del billete es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero.
Solución
5. EJERCICIO: Andrés, Juan y Luis son tres amigos. Hablando un buen día sobre sus edades observan que: “El doble de la edad de Andrés más el triple de la edad de Juan es tres años superior a cuatro veces la edad de Luis. El triple de la edad de Luis menos el doble de la edad de Juan es siete años inferior al doble de la edad de Andrés. El doble de las edades de Andrés y Luis es tres años inferior a cinco veces la edad de Juan”. ¿Cuál es la edad de cada uno de los amigos?
Solución
6. EJERCICIO: Un país importa 21 000 vehículos mensuales de 3 marcas A, B, C, al precio de 7500; 9100 y 12000 euros, respectivamente. Si el total de la importación asciende a 201,8 millones de euros y de la marca A importa el 40% de las otras dos marcas juntas, ¿cuántos vehículos de cada mar entran en el país?
Solución
7. EJERCICIO: Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384€. El original costaba 12€, pero también ha vendido copias, presuntamente defectuosas, con un descuento del 30% y 40%. Sabiendo que el número de copias vendidas fue la mitad del de originales, calcular a cuántas copias se le aplicó el descuento del 30%.
Solución
8. EJERCICIO: Hallar un número de 3 cifras, sabiendo que suman 9, que si al número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es de 198; y que además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos.
Solución
9. EJERCICIO: Averigua la edad de tres hermanos, sabiendo que el triple de la edad del primero menos el doble de la edad del segundo más la del tercero hacen un total de 22 años; la edad del primero menos la del segundo más el doble de la del tercero son 8 años; y el doble de la del primero más la del segundo menos la del tercero son 20 años.
Solución
10. EJERCICIO: La distancia de tres playas (A, B, C) al lugar de veraneo de una familia es tal que el doble de la distancia de A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias A, B y C es de 90.000m, y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130.000 m. ¿Cuál es la distancia de cada playa?
Solución
11. EJERCICIO: Una papelería tiene un total de 270 bolígrafos de tres tipos x, y, z . Del tipo x tienen 30 unidades menos que de la totalidad de y más z, y del tipo z tienen el 35% de la suma de x más y. ¿Cuántos bolígrafos de cada tipo hay en la librería?
Solución
12. EJERCICIO: 2) Un vehículo todo terreno sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h, y en llano lleva una velocidad de 80 km/h. Para ir de una ciudad a otra que dista de ella 201 km emplea 2,8 horas y para volver 2,6 horas. ¿Cuántos kilómetros de camino llano hay entre ambas ciudades?
Solución
Programación lineal
EJERCICIOS PROGRAMACIÓN LINEAL
EJERCICIO: Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz propor ciona 2,5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 kilo de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0,3 € y el de pienso compuesto 0,52 €, se pide:
a) ¿Cuál es la composición de la dieta diaria que minimiza los costes del granjero? Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta.
b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto?. Razona la respuesta.
Solución
EJERCICIO: Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades del mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 150 € por electricista y 120 € por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?
Solución
EJERCICIO: Una persona tiene 15.000 € para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene un interés anual del 9%, y el tipo B, del 5%. Decide invertir, como máximo, 9.000 € en A, y como mínimo, 3.000 € en B. Además, quiere invertir en A tanto o más que en B.
a) Dibuja la región factible.
b) ¿Cómo debe invertir los 15.000 € para que el beneficio sea máximo?
c) ¿Cuál es ese beneficio anual máximo?
Solución
EJERCICIO: Un taller de confección hace chaquetas y pantalones para niños. Para hacer una chaqueta, se necesitan 1 m de tela y 2 botones; y para hacer unos pantalones, hacen falta 2 m de tela, 1 botón y 1 cremallera. El taller dispone de 500 m de tela, 400 botones y 225 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una chaqueta es de 20 €, y por la de unos pantolones, 30 €. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcula el número de chaquetas y de pantalones que se tienen que hacer para obtener un beneficio máximo.
Solución
EJERCICIO: Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una hora. El material de que dispone no le permite hacer más de 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 5 euros y por cada pulsera 4 euros. El artesano desea determinar el número de collares y pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios.
1. Obténgase el número de collares y pulseras correspondientes al máximo beneficio.
2. Exprésese la función objetivo y las restricciones del problema.
3. Represéntese gráficamente el recinto definido.
Solución
EJERCICIO: Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 Kilocalorías por cada 100 g de ingrediente, mientras que el B contiene 15 g de grasas y 100 Kilocalorías por cada 100 g. El coste es de 1,5 euros por cada 100 g. del ingrediente A y de 1 euros por cada 100 g del ingrediente B. El menú a diseñar debería contener no más de 30 g de grasas y al menos 110 Kilocalorías por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada ingrediente a emplear en el menú de manera que su coste sea lo más reducido posible.
1. Calcúlese el porcentaje óptimo de cada ingrediente a incluir en el menú.
2. Indíquese la expresión de las restricciones y la funcion objetivo.
3. Represéntese gráficamente la región delimitada por las restricciones.
Solución
EJERCICIO: Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una supercie de 480 m. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m por kg y un precio de 1 euro por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de 8 m por kg. Ningún proveedor le puede proporcionar mas de 75 kg y el presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dichocoste mínimo.
Solución
EJERCICIO: Una fábrica de piensos para animales produce diariamente como mucho seis toneladas de pienso del tipo A y como máximo cuatro toneladas de pienso del tipo B. Además, la producción diaria de pienso del tipo B no puede superar el doble de la del tipo A y, por último, el doble de la fabricación de pienso del tipo A sumada con la del tipo B debe ser como poco cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso del tipo A es de 1000 euros y el de una tonelada del tipo B de 2000 euros, ¿cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
Solución
