Ejercicio: Calcular las derivadas usando la definición de derivada en general
$$1) \ f(x)=k $$
$$1) \ f(x)=x^2 $$
$$1) \ f(x)=\sqrt{x} $$
Solución:
$$1) \ f'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{k – k}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{0}{h} = \lim_{h \to 0} 0 = 0$$
$$2) \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h)^2 – x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 – x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$$
$$3) \ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{x + h} – \sqrt{x}}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(\sqrt{x + h} – \sqrt{x})(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{(x + h) – x}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h(\sqrt{x + h} + \sqrt{x})} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la definición de derivada en un punto:
$$1) \ f(x) = 3x – 2 \ \text{ en } x = 1$$
$$2) \ f(x) = -2x + 1 \ \text{ en } x = -3$$
$$3) \ f(x) = x^2 – 4 \ \text{ en } x = -2$$
$$4) \ f(x) = -x^2 + 5x – 3 \ \text{ en } x = 1$$
Solución:
$$1) \ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) – f(1)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{3(1 + h) – 2 – (3 – 2)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{3 + 3h – 2 – 3 + 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{3h}{h} = 3$$
$$2) \ f'(-3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-3 + h) – f(-3)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-2(-3 + h) + 1 – [-2 \cdot (-3) + 1]}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{6 – 2h + 1 – 6 – 1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2h}{h} = -2$$
$$3) \ f'(-2) = \lim_{h \to 0} \frac{f(-2 + h) – f(-2)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{(-2 + h)^2 – 4 – [(-2)^2 – 4]}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{4 – 4h + h^2 – 4 – 0}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-4h + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(-4 + h)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} (-4 + h) = -4$$
$$4) \ f'(1) = \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) – f(1)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-(1 + h)^2 + 5(1 + h) – 3 – (-1^2 + 5 \cdot 1 – 3)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-1 – 2h – h^2 + 5 + 5h – 3 + 1 – 5 + 3}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} \frac{-h^2 + 3h}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h(-h + 3)}{h} =$$
$$= \lim_{h \to 0} (-h + 3) = 3$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel básico)
$$1) \ f(x) = 4x^5 – 3x^3 + 2x – 7$$
$$2) \ f(x) = \frac{1}{2}x^4 + 5x^2 – \pi$$
$$3) \ f(x) = (x^2 + 1)(x – 3)$$
$$4) \ f(x) = 10x^6 – x$$
$$5) \ f(x) = 2x^3 – 8x^2 + 4x$$
$$6) \ f(x) = \frac{3}{x^2}$$
$$7) \ f(x) = \frac{x+1}{x-1}$$
$$8) \ f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 4}$$
$$9) \ f(x) = \frac{1}{x^3 + x}$$
$$10) \ f(x) = \frac{x^2 – 1}{2x}$$
$$11) \ f(x) = \ln(x^2 + 1)$$
$$12) \ f(x) = \log_{10}(5x)$$
$$13) \ f(x) = \log_2(x)$$
$$14) \ f(x) = \log_3(x^2 – x)$$
$$15) \ f(x) = \ln(\sqrt{x})$$
$$16) \ f(x) = e^{3x}$$
$$17) \ f(x) = 2^x$$
$$18) \ f(x) = 5^{x^2}$$
$$19) \ f(x) = 10^{\sin(x)}$$
$$20) \ f(x) = e^{-x^2}$$
$$21) \ f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$$
$$22) \ f(x) = \sqrt[3]{x^4 – 2x}$$
$$23) \ f(x) = \sqrt{\frac{1}{x}}$$
$$24) \ f(x) = \sqrt[5]{(3x + 1)^2}$$
$$25) \ f(x) = x \cdot \sqrt{x – 1}$$
Solución:
$$1) \ f'(x) = 20x^4 – 9x^2 + 2$$
$$2) \ f'(x) = 2x^3 + 10x$$
$$3) \ f'(x) = 3x^2 – 6x + 1$$
$$4) \ f'(x) = 60x^5 – 1$$
$$5) \ f'(x) = 6x^2 – 16x + 4$$
$$6) \ f'(x) = -\frac{6}{x^3}$$
$$7) \ f'(x) = -\frac{2}{(x-1)^2}$$
$$8) \ f'(x) = \frac{16x}{(x^2 + 4)^2}$$
$$9) \ f'(x) = -\frac{3x^2 + 1}{(x^3 + x)^2}$$
$$10) \ f'(x) = \frac{x^2 + 1}{2x^2}$$
$$11) \ f'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$
$$12) \ f'(x) = \frac{1}{x \ln 10}$$
$$13) \ f'(x) = \frac{1}{x \ln 2}$$
$$14) \ f'(x) = \frac{2x – 1}{(x^2 – x) \ln 3}$$
$$15) \ f'(x) = \frac{1}{2x}$$
$$16) \ f'(x) = 3e^{3x}$$
$$17) \ f'(x) = 2^x \ln 2$$
$$18) \ f'(x) = 2x \cdot 5^{x^2} \ln 5$$
$$19) \ f'(x) = \cos(x) \cdot 10^{\sin(x)} \ln 10$$
$$20) \ f'(x) = -2x e^{-x^2}$$
$$21) \ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 5}}$$
$$22) \ f'(x) = \frac{4x^3 – 2}{3\sqrt[3]{(x^4 – 2x)^2}}$$
$$23) \ f'(x) = -\frac{1}{2x\sqrt{x}}$$
$$24) \ f'(x) = \frac{6}{5\sqrt[5]{(3x + 1)^3}}$$
$$25) \ f'(x) = \sqrt{x – 1} + \frac{x}{2\sqrt{x – 1}} = \frac{3x – 2}{2\sqrt{x – 1}}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel básico)
$$1) \ a(x) = 3x^2$$
$$2) \ b(x) = \sqrt{x}$$
$$3) \ c(x) = e^x$$
$$4) \ d(x) = \ln(x)$$
$$5) \ e(x) = 2x^3 + 4x^2 – 7x + 1$$
$$6) \ f(x) = \frac{1}{x}$$
$$7) \ g(x) = \sin(x)$$
$$8) \ h(x) = \cos(x)$$
$$9) \ i(x) = \tan(x)$$
$$10) \ j(x) = e^{2x}$$
$$11) \ k(x) = \ln(2x)$$
$$12) \ l(x) = \sqrt{3x + 1}$$
$$13) \ m(x) = \frac{3}{x^2}$$
$$14) \ n(x) = \sin(2x)$$
$$15) \ ñ(x) = \cos(3x)$$
$$16) \ o(x) = \tan^2(x)$$
$$17) \ p(x) = e^{3x} + 2e^{2x} + e^x$$
$$18) \ q(x) = \ln(x^2 + 1)$$
$$19) \ r(x) = \sqrt{4x^2 + 1}$$
$$20) \ s(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$
Solución:
$$1) \ a'(x) = 6x$$
$$2) \ b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$
$$3) \ c'(x) = e^x$$
$$4) \ d'(x) = \frac{1}{x}$$
$$5) \ e'(x) = 6x^2 + 8x – 7$$
$$6) \ f'(x) = -\frac{1}{x^2}$$
$$7) \ g'(x) = \cos(x)$$
$$8) \ h'(x) = -\sin(x)$$
$$9) \ i'(x) = \sec^2(x)$$
$$10) \ j'(x) = 2e^{2x}$$
$$11) \ k'(x) = \frac{1}{x}$$
$$12) \ l'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}}$$
$$13) \ m'(x) = -\frac{6}{x^3}$$
$$14) \ n'(x) = 2 \cos(2x)$$
$$15) \ ñ'(x) = -3 \sin(3x)$$
$$16) \ o'(x) = 2 \tan(x) \sec^2(x)$$
$$17) \ p'(x) = 3e^{3x} + 4e^{2x} + e^x$$
$$18) \ q'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1}$$
$$19) \ r'(x) = \frac{4x}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$
$$20) \ s'(x) = \frac{2(1 – x^2)}{(x^2 + 1)^2}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel intermedio)
$$1) \ y = (1 + 4x^3) \cdot (1 + 2x^2)$$
$$2) \ y = \sqrt[5]{\left( \frac{x^2}{1 – x^2} \right)^3}$$
$$3) \ y = \ln \left( x + \sqrt{1 + x^2} \right)$$
$$4) \ y = \csc \frac{x}{a}$$
$$5) \ y = \log \frac{\sqrt{x^2 – 1}}{x + 1}$$
$$6) \ y = \sin^3 2x – \cos^3 2x$$
$$7) \ y = \sin [ \ln(3x + 5) ]$$
$$8) \ y = (\sin x)^x$$
$$9) \ y = (\sin x)^{\sin x}$$
$$10) \ y = \log_x (x^2 + 1)$$
$$11) \ y = \arcsin(\cos x – x)$$
$$12) \ y = (\ln x)^{\ln x}$$
$$13) \ y = \arccos \sqrt{\frac{x^2 – 1}{x^2 + 1}}$$
$$14) \ y = \arctan \sqrt{x^2 – 1}$$
$$15) \ y = \ln (\arctan x)$$
$$16) \ y = (\arcsin e^x)(\arccos 5^x)$$
$$17) \ y = \frac{1}{x} + \arctan x$$
$$18) \ y = \sqrt{a^2 – x^2} + a \cdot \arcsin \frac{x}{a}$$
$$19) \ y = x \cdot [\sin(\ln x) – \cos(\ln x)]$$
$$20) \ y = \arcsin \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$$
Solución:
$$1) \ y’ = 20x^4 + 12x^2 + 8x$$
$$2) \ y’ = \frac{6x}{5(1-x^2)^2 \sqrt[5]{\frac{x^2}{1-x^2}^2}}$$
$$3) \ y’ = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$$
$$4) \ y’ = -\frac{1}{a} \csc \frac{x}{a} \cot \frac{x}{a}$$
$$5) \ y’ = \frac{1}{\ln 10} \left( \frac{x}{x^2-1} – \frac{1}{x+1} \right)$$
$$6) \ y’ = 6 \sin^2 2x \cos 2x + 6 \cos^2 2x \sin 2x$$
$$7) \ y’ = \frac{3 \cos(\ln(3x+5))}{3x+5}$$
$$8) \ y’ = (\sin x)^x \left( \ln(\sin x) + x \cot x \right)$$
$$9) \ y’ = (\sin x)^{\sin x} \cos x (\ln(\sin x) + 1)$$
$$10) \ y’ = \frac{2x}{(x^2+1)\ln x} – \frac{\ln(x^2+1)}{x(\ln x)^2}$$
$$11) \ y’ = \frac{\sin x + 1}{\sqrt{1 – (\cos x – x)^2}}$$
$$12) \ y’ = (\ln x)^{\ln x} \frac{\ln(\ln x) + 1}{x}$$
$$13) \ y’ = \frac{x}{(x^2+1)\sqrt{x^2}}$$
$$14) \ y’ = \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}}$$
$$15) \ y’ = \frac{1}{(1+x^2) \arctan x}$$
$$16) \ y’ = \frac{e^x \arccos 5^x}{\sqrt{1-e^{2x}}} – \frac{5^x \ln 5 \arcsin e^x}{\sqrt{1-5^{2x}}}$$
$$17) \ y’ = -\frac{1}{x^2} + \frac{1}{1+x^2}$$
$$18) \ y’ = 2\sqrt{a^2-x^2}$$
$$19) \ y’ = 2 \sin(\ln x)$$
$$20) \ y’ = \frac{1}{1+x^2}$$
Ejercicio: Calcula las derivadas usando la tabla (nivel avanzado)
$$1) \ a(x) = \frac{x^2 – 3}{x^2 + 3}$$
$$2) \ b(x) = \sqrt[3]{3x^2} $$
$$3) \ c(x) = \left( \frac{1 – x}{1 + x} \right)^{\frac{2}{3}}$$
$$4) \ d(x) = \frac{2}{x} + \frac{x^2}{2} $$
$$5) \ e(x) = \frac{\ln x}{x} $$
$$6) \ f(x) = 7e^{-x}$$
$$7) \ g(x) = \frac{e^{2x} \sin^{2}(x)}{\sqrt{x^{3} + 1}}$$
$$8) \ h(x) = \ln(\cos(x) + 2)$$
$$9) \ i(x) = x^{2} \cdot e^{-x}$$
$$10) \ j(x) = \frac{\tan(x)}{\cos^{2}(x)}$$
$$11) \ k(x) = \frac{e^{3x}}{\sqrt{1 + e^{2x}}}$$
$$12) \ l(x) = \ln \left( \frac{1 + e^{2x}}{x^{2} + 2} \right)$$
$$13) \ y = \sqrt{x} – \arctan \sqrt{x}$$
Solución:
$$1) \ a'(x) = \frac{12x}{(x^2 + 3)^2}$$
$$2) \ b'(x) = \frac{2}{\sqrt[3]{9x}}$$
$$3) \ c'(x) = \frac{-4}{3 \sqrt[3]{(1 – x)(1 + x)^5}}$$
$$4) \ d'(x) = -\frac{2}{x^2} + x = \frac{x^3 – 2}{x^2}$$
$$5) \ e'(x) = \frac{1 – \ln x}{x^2}$$
$$6) \ f'(x) = -7e^{-x}$$
$$7) \ g'(x) = \frac{e^{2x} (4 \sin(x) \cos(x) \sqrt{x^{3} + 1} + \sin^{2}(x)) – \frac{3}{2} x^{2} e^{2x} \sin^{2}(x)}{(x^{3} + 1)^{3/2}}$$
$$8) \ h'(x) = -\frac{\sin(x)}{\cos(x) + 2}$$
$$9) \ i'(x) = 2x e^{-x} – x^{2} e^{-x}$$
$$10) \ j'(x) = \frac{\sec^{2}(x) – 2 \tan(x) \sec(x)}{\cos^{4}(x)}$$
$$11) \ k'(x) = \frac{3e^{3x}(1 + e^{2x}) – \frac{1}{2} e^{5x}}{(1 + e^{2x})^{3/2}}$$
$$12) \ l'(x) = \frac{-4x e^{2x} + 2x e^{2x} \ln(x^{2} + 2) + e^{2x}}{(x^{2} + 2)(1 + e^{2x})}$$
$$13) \ y’ = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)}$$