a) Calcular espacio muestral. b) Calcular suceso A. c) Calcular suceso B. d) Calcular AUB. e) Calcular A∩B. d) Calcular A-B. e) Calcular contrario de A.
Solución: a) E={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} b) A={2,4,6,8,10,12} c) B={3,6,9,12} d) AUB={2,4,8,10,6,12,3,9} e) A∩B={6,12} d) A-B={2,4,8,10} e) Contrario de A={1,5,7,11,3,9}
Ejercicio: En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza un experimento que consiste en extraer una bola al azar de la urna. Define los siguientes sucesos: a) Suceso C: «El número de la bola extraída es mayor que 5». b) Suceso A: «El número de la bola extraída es par». c) Suceso B: «El número de la bola extraída es un múltiplo de 3». d) A∩B e) AUC
Solución: a) {2,4,6,8,10} b) {3,6,9} c) {6,7,8,9,10} d) {6} e) {2,4,6,7,8,9,10}
Ejercicio: A partir del dibujo calcular los siguientes sucesos.
a) A b) B c) A-B d) No B e) A intersección No B f) A intersección B g) A menos la intersección de A y B h) A unión B i) No (A intersección B) j) No A unión No B
Solución:
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Ejercicio: Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa. a) Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde. b) Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos. c) Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana. d) Calcula la probabilidad de que tenga un problema mecánicos o acuda por la Tarde.
Solución:
Ejercicio: Una clase tiene 24 alumnos y todos ellos cursan inglés y matemáticas. La mitad aprueban inglés, 16 aprueban matemáticas, y 4 suspenden inglés y matemáticas. a) Realiza una tabla de contingencia con los resultados de esta clase. b) En esta clase, ¿son independientes los sucesos “aprobar inglés” y “aprobar matemáticas”? c) Calcula la probabilidad de que, al elegir un alumno de esta clase al azar, resulte que aprueba matemáticas y suspende inglés.
Solución:
Ejercicio: En un viaje organizado por Europa para 120 personas, 48 de los que van saben hablar Inglés, 36 saben hablar Francés y 12 de ellos hablan los dos idiomas. Escogemos uno de los viajeros al azar. a) ¿Cuál es la probabilidad de que hable alguno de los dos idiomas? b) ¿Cuál es la probabilidad de que hable Francés, sabiendo que habla Inglés? c) ¿Cuál es la probabilidad de que solo hable Francés?
Solución:
Ejercicio: En una clase de 30 alumnos hay 18 que han aprobado Matemáticas, 16 que han aprobado Inglés y 6 que no han aprobado ninguna de las dos. Elegimos al azar un alumno de esa clase: a) ¿Cuál es la probabilidad de que se haya aprobado Inglés y Matemáticas? b) Sabiendo que ha aprobado Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya aprobado Inglés? c) ¿Son independientes los sucesos “Aprobar Matemáticas” y “Aprobar Inglés”?
Solución:
Ejercicio: Se sortea un viaje a Roma entre los 120 mejores clientes de una agencia de automóviles. De ellos, 65 son mujeres, 80 están casados y 45 son mujeres casadas. Se pide: a) ¿Cuál será la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero? b) Si del afortunado se sabe que es casado, ¿cuál será la probabilidad de que sea una mujer? c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea Hombre o Soltero? d) ¿Son independientes los sucesos “Hombres” y “Casados”? e) ¿Cuál es la probabilidad de que sea Mujer?
Solución:
TEOREMA DE BAYES Y PROBABILIDAD TOTAL
Ejercicio: Una firma de perfumería cuenta con tres cadenas de producción, A, B y C, en las que se envasa su nueva fragancia. La cadena A envasa el 20% del total de perfumes que salen a la venta; la cadena B, el 50%; la C, el 30%. La probabilidad de que un envase sea defectuoso es de 1/3 en A; 1/6 en B y de 1/4 en C. Calcular: a) La probabilidad de que escogido un envase al azar, este no sea defectuoso. b) La probabilidad de que un envase no sea defectuoso y proceda de la cadena B. c) Si un envase es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de la cadena C?
Solución:
Ejercicio: En una empresa dedicada a la fabricación de teléfonos móviles, tres máquinas A, B y C, finalizan el proceso de producción con la colocación de las carcasas. La máquina A gestiona el 55% de la producción total de la fábrica; la máquina B, el 30%; la C, el 15%. El 1% de los móviles que han pasado por la máquina A tienen algún defecto en su carcasa. En el caso de la máquina B, se trata del 2%. En la C, es del 4%. a) Calcular la probabilidad de que escogido un móvil al azar, éste no tenga defectos en su carcasa. b) Calcular la probabilidad de que un móvil tenga la carcasa defectuosa y proceda de la máquina C. c) Se escoge al azar un móvil con deficiencias en su carcasa. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber colocado esa pieza?
1. EJERCICIO: Cierta marca de pintura es elaborada con tres ingredientes A, B y C, comercializándose en tres tonos diferentes. El primero se prepara con 2 unidades de A, 2 de B y 1 de C; el segundo con 1 unidad de A, 2 de B y 2 de C; y el tercero con una unidad de cada ingrediente. El bote del primer tono se vende a 23 euros, el segundo a 17 euros y el tercero a 14 euros. Sabiendo que el margen comercial (o ganancial) es de 3 euros por bote, ¿qué precio por unidad le cuesta a dicha marca de pintura cada uno de los tres ingredientes?
Solución
2. EJERCICIO: Una fábrica de chocolates emplea, para una determinada marca, leche, cacao y almendras, siendo la proporción de leche el doble que la de cacao y almendras juntas. Los precios de los ingredientes por kilo son: leche, 0,80 euros; cacao, 4 euros; y almendra, 10 euros. En un día se fabrican 9 000 kg de chocolate de dicha marca con un coste total de 22 800 euros. ¿Cuántos kg se utilizan de cada componente al día?
Solución
3. EJERCICIO: Para un determinado partido de fútbol se ponen a la venta tres tipos de localidades: fondo, general y tribuna. Se sabe que la relación entre los precios de las localidades de tribuna y general es de 19/18 y entre general y fondo es de 6/5. Si al comprar tres localidades, una de cada caso, se pagan en total 52 euros, ¿cuál es el precio de cada tipo de localidad?
Solución
4. EJERCICIO: Un tren transporta 500 viajeros y la recaudación de sus billetes asciende a 2 142 euros. Calcular cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que vale 9 euros; cuántos han pagado el 20% del billete y cuántos el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 20% del billete es el doble del número de viajeros que pagan el billete entero.
Solución
5. EJERCICIO: Andrés, Juan y Luis son tres amigos. Hablando un buen día sobre sus edades observan que: “El doble de la edad de Andrés más el triple de la edad de Juan es tres años superior a cuatro veces la edad de Luis. El triple de la edad de Luis menos el doble de la edad de Juan es siete años inferior al doble de la edad de Andrés. El doble de las edades de Andrés y Luis es tres años inferior a cinco veces la edad de Juan”. ¿Cuál es la edad de cada uno de los amigos?
Solución
6. EJERCICIO: Un país importa 21 000 vehículos mensuales de 3 marcas A, B, C, al precio de 7500; 9100 y 12000 euros, respectivamente. Si el total de la importación asciende a 201,8 millones de euros y de la marca A importa el 40% de las otras dos marcas juntas, ¿cuántos vehículos de cada mar entran en el país?
Solución
7. EJERCICIO: Una tienda ha vendido 600 ejemplares de un videojuego por un total de 6384€. El original costaba 12€, pero también ha vendido copias, presuntamente defectuosas, con un descuento del 30% y 40%. Sabiendo que el número de copias vendidas fue la mitad del de originales, calcular a cuántas copias se le aplicó el descuento del 30%.
Solución
8. EJERCICIO: Hallar un número de 3 cifras, sabiendo que suman 9, que si al número dado se le resta el que resulta de invertir el orden de sus cifras, la diferencia es de 198; y que además, la cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos.
Solución
9. EJERCICIO: Averigua la edad de tres hermanos, sabiendo que el triple de la edad del primero menos el doble de la edad del segundo más la del tercero hacen un total de 22 años; la edad del primero menos la del segundo más el doble de la del tercero son 8 años; y el doble de la del primero más la del segundo menos la del tercero son 20 años.
Solución
10. EJERCICIO: La distancia de tres playas (A, B, C) al lugar de veraneo de una familia es tal que el doble de la distancia de A es el triple de la distancia a B. La suma de las distancias A, B y C es de 90.000m, y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130.000 m. ¿Cuál es la distancia de cada playa?
Solución
11. EJERCICIO: Una papelería tiene un total de 270 bolígrafos de tres tipos x, y, z . Del tipo x tienen 30 unidades menos que de la totalidad de y más z, y del tipo z tienen el 35% de la suma de x más y. ¿Cuántos bolígrafos de cada tipo hay en la librería?
Solución
12. EJERCICIO: 2) Un vehículo todo terreno sube las cuestas a 54 km/h, las baja a 90 km/h, y en llano lleva una velocidad de 80 km/h. Para ir de una ciudad a otra que dista de ella 201 km emplea 2,8 horas y para volver 2,6 horas. ¿Cuántos kilómetros de camino llano hay entre ambas ciudades?
EJERCICIO: Un veterinario aconseja a un granjero dedicado a la cría de aves una dieta mínima que consiste en 3 unidades de hierro y 4 unidades de vitaminas diarias. El granjero sabe que cada kilo de maíz propor ciona 2,5 unidades de hierro y 1 de vitaminas y que cada kilo de pienso compuesto proporciona 1 kilo de hierro y 2 de vitaminas. Sabiendo que el kilo de maíz vale 0,3 € y el de pienso compuesto 0,52 €, se pide: a) ¿Cuál es la composición de la dieta diaria que minimiza los costes del granjero? Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta. b) ¿Cambiaría la solución del problema si por escasez en el mercado el granjero no pudiera disponer de más de 1 kilo diario de pienso compuesto?. Razona la respuesta.
Solución
EJERCICIO: Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades del mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 150 € por electricista y 120 € por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio?
Solución
EJERCICIO: Una persona tiene 15.000 € para invertir en dos tipos de acciones, A y B. El tipo A tiene un interés anual del 9%, y el tipo B, del 5%. Decide invertir, como máximo, 9.000 € en A, y como mínimo, 3.000 € en B. Además, quiere invertir en A tanto o más que en B. a) Dibuja la región factible. b) ¿Cómo debe invertir los 15.000 € para que el beneficio sea máximo? c) ¿Cuál es ese beneficio anual máximo?
Solución
EJERCICIO: Un taller de confección hace chaquetas y pantalones para niños. Para hacer una chaqueta, se necesitan 1 m de tela y 2 botones; y para hacer unos pantalones, hacen falta 2 m de tela, 1 botón y 1 cremallera. El taller dispone de 500 m de tela, 400 botones y 225 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una chaqueta es de 20 €, y por la de unos pantolones, 30 €. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcula el número de chaquetas y de pantalones que se tienen que hacer para obtener un beneficio máximo.
Solución
EJERCICIO: Un artesano fabrica collares y pulseras. Hacer un collar le lleva dos horas y hacer una pulsera una hora. El material de que dispone no le permite hacer más de 50 piezas. Como mucho, el artesano puede dedicar al trabajo 80 horas. Por cada collar gana 5 euros y por cada pulsera 4 euros. El artesano desea determinar el número de collares y pulseras que debe fabricar para optimizar sus beneficios. 1. Obténgase el número de collares y pulseras correspondientes al máximo beneficio. 2. Exprésese la función objetivo y las restricciones del problema. 3. Represéntese gráficamente el recinto definido.
Solución
EJERCICIO: Una empresa que sirve comidas preparadas tiene que diseñar un menú utilizando dos ingredientes. El ingrediente A contiene 35 g de grasas y 150 Kilocalorías por cada 100 g de ingrediente, mientras que el B contiene 15 g de grasas y 100 Kilocalorías por cada 100 g. El coste es de 1,5 euros por cada 100 g. del ingrediente A y de 1 euros por cada 100 g del ingrediente B. El menú a diseñar debería contener no más de 30 g de grasas y al menos 110 Kilocalorías por cada 100 g de alimento. Se pide determinar las proporciones de cada ingrediente a emplear en el menú de manera que su coste sea lo más reducido posible. 1. Calcúlese el porcentaje óptimo de cada ingrediente a incluir en el menú. 2. Indíquese la expresión de las restricciones y la funcion objetivo. 3. Represéntese gráficamente la región delimitada por las restricciones.
Solución
EJERCICIO: Un pintor necesita pintura para pintar como mínimo una supercie de 480 m. Puede comprar la pintura a dos proveedores, A y B. El proveedor A le ofrece una pintura con un rendimiento de 6 m por kg y un precio de 1 euro por kg. La pintura del proveedor B tiene un precio de 1,2 euros por kg y un rendimiento de 8 m por kg. Ningún proveedor le puede proporcionar mas de 75 kg y el presupuesto máximo del pintor es de 120 euros. Calcúlese la cantidad de pintura que el pintor tiene que comprar a cada proveedor para obtener el mínimo coste. Calcúlese dichocoste mínimo.
Solución
EJERCICIO: Una fábrica de piensos para animales produce diariamente como mucho seis toneladas de pienso del tipo A y como máximo cuatro toneladas de pienso del tipo B. Además, la producción diaria de pienso del tipo B no puede superar el doble de la del tipo A y, por último, el doble de la fabricación de pienso del tipo A sumada con la del tipo B debe ser como poco cuatro toneladas diarias. Teniendo en cuenta que el coste de fabricación de una tonelada de pienso del tipo A es de 1000 euros y el de una tonelada del tipo B de 2000 euros, ¿cuál es la producción diaria para que la fábrica cumpla con sus obligaciones con un coste mínimo? Calcúlese dicho coste diario mínimo.
Solución
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