OPERACIONES CON MATRICES
Ejercicio: Dada las matrices…
$$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 5 \end{pmatrix}$$
a) 2A+3B
b) A · B
c) B · A
d) A3
e) A·B-A2
f) 2B + B·A2
Solución:
$$a) \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -9 & 23 \end{pmatrix} \ b) \begin{pmatrix} -2 & 11 \\ -4 & 23 \end{pmatrix} \ c) \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ -14 & 18 \end{pmatrix} \\ d) \begin{pmatrix} -13 & 14 \\ -21 & 22 \end{pmatrix}\ e) \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 5 & 13 \end{pmatrix} \ f) \begin{pmatrix} 9 & -12 \\ -42 & 54 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: A partir de estas matrices…
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$
a) A + B
b) A · B
c) B · A
d) A2
e) 2A – B
Solución:
$$a) \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix} \ b) \begin{pmatrix} 4 & 3 & 6 \\ -1 & -3 & 9 \\ 1 & -1 & 7 \end{pmatrix} \ c) \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 9 & 6 \end{pmatrix} \\ \\ d) \begin{pmatrix} 1 & 4 & 4 \\ -4 & 11 & 2 \\ -2 & 8 & 3 \end{pmatrix} \ e) \begin{pmatrix} 0 & -1 & 4 \\ -2 & 7 & 0 \\ -1 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: A partir de estas matrices…
$$A = \begin{pmatrix} -1 & 3 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 0 & -6 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 & 2 \\ 4 & 3 & -9 & 7 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 6 & 5 \\ 4 & -3 & 2 & 8 \end{pmatrix}$$
a) A+B
b) B + A
c) A + (B+C)
Solución:
$$a) \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 & 7 \\ 8 & 4 & -9 & 1 \end{pmatrix} \ b) \begin{pmatrix} -1 & 3 & 5 & 7 \\ 8 & 4 & -9 & 1 \end{pmatrix} \ c) \begin{pmatrix} 1 & -1 & 11 & 12 \\ 12 & 1 & -7 & 9 \end{pmatrix}$$
DETERMINANTE DE UNA MATRIZ
Ejercicio: Calcualar el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -3 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \quad d) \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & -25 \end{vmatrix} $$
Solución:
a) -7 b) -3 c) -2 d) 0
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 5 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 1 & 8 & 1 \\ 1 & 7 & 0 \\ 1 & 6 & -1 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 7 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$
$$d) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & -7 & 5 \end{vmatrix} \quad e) \begin{vmatrix} 1 & 0 & 8 \\ 0 & -5 & 5 \\ 1 & -6 & 2 \end{vmatrix} \quad f) \begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 5 & -3 & 2 \end{vmatrix}$$
Solución:
a) -15 b) 0 c) -28 d) 4 e) 60 f) 24
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 8 & 8 & 7 & 18 \\ 8 & 4 & 4 & 9 \\ 4 & 1 & 1 & 1 \\ 4 & 3 & 3 & 9 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 12 & 10 & 27 \\ 8 & 7 & 14 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 4 & 3 & 7 \\ 13 & 11 & 28 \\ 8 & 7 & 14 \end{vmatrix} \quad d) \begin{vmatrix} 9 & 8 & 7 & 18 \\ 8 & 5 & 4 & 9 \\ 4 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & 3 & 3 & 9 \end{vmatrix}$$
Solución
a) 8 b) -24 c) -21 d) -72
Ejercicio: Calcular el determinante de las siguientes matrices
$$a) \begin{vmatrix} 6 & 8 & 7 & 20 \\ 6 & 4 & 4 & 10 \\ 3 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 10 \end{vmatrix} \quad b) \begin{vmatrix} 3 & 3 & 8 \\ 9 & 10 & 31 \\ 6 & 7 & 16 \end{vmatrix} \quad c) \begin{vmatrix} 3 & 3 & 8 \\ 10 & 11 & 32 \\ 6 & 7 & 16 \end{vmatrix} \quad d) \begin{vmatrix} 7 & 8 & 7 & 20 \\ 6 & 5 & 4 & 10 \\ 3 & 1 & 2 & 1 \\ 3 & 3 & 3 & 10 \end{vmatrix}$$
Solución
a) 6 b) -21 c) -16 d) -54
INVERSA DE UNA MATRIZ
Ejercicio: Calcula la inversa de estas matrices
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & -6 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 4 & 9 \end{pmatrix} \quad E = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 &2\\ 0 &2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$A = \begin{pmatrix} 3/5 & 2/5 \\ 1/10 & -1/10 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}, C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1/6 \\ 0 & 1 & -1/6 \\ 0 & 0 & 1/6 \end{pmatrix}, D = \begin{pmatrix} -19 & -2 & 11 \\ 5 & 1 & -3 \\ 2 & 0 & -1\end{pmatrix} , E = \begin{pmatrix} 2 & -1 & -2 & 0 \\ 3 & -3/2 & -2 & -1/2 \\ -6 &3 & 5 &1 \\ -1 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$
RANGO DE LA MATRIZ
Ejercicio: Calcular el rango de estas matrices
$$A = \begin{pmatrix} 2 & -4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -6 & 3 \end{pmatrix} \quad C = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 5 \\ 6 & -9 & 15 \end{pmatrix} \quad D = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -2 & 5 \end{pmatrix}$$
$$ E = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \\ 0 & 5 & 3 \\ -7 & 6 & 9 \end{pmatrix} \quad F = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} \quad G = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 0 & 1 \\ 6 & -3 & 7 & -2 \\ 4 & 0 & 7 & -3 \end{pmatrix} \quad H = \begin{pmatrix} 6 & 0 & 2 \\ -2 & 4 & 0 \\ 2 & 7 & 1 \\ 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}$$
Solución:
a) 2 b) 1 c) 1 d) 2 e) 3 f) 2 g) 2 h) 3
ECUACIONES MATRICIALES CON NÚMEROS
Ejercicio: Resolve la siguiente ecuación AX=B si…
$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: Resolver esta ecuación…
$$X \cdot \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{pmatrix} – 3 \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$X = \begin{pmatrix} 27 & -11 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$
Ejercicio: Resolver esta ecuación… A·X + C = B·X
$$A=\begin{pmatrix} 2 & 3 &-1 \\ 4&0 & 0 \\2&-1 &3 \end{pmatrix} \quad B=\begin{pmatrix} 1 & 2 &3 \\ 0 &-1 &2 \\ 1 &0 &1 \end{pmatrix} \quad C=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1\\ 0 &2 \end{pmatrix}$$
Solución:
$$X=\begin{pmatrix} 0 & -3/5 \\ 2 &16/5 \\ 1 &9/10 \end{pmatrix}$$
ECUACIONES MATRICIALES SIN NÚMEROS
Se trata de despejar la X como en las ecuaciones normales sin matrices pero ahora respetando las propiedades de las matrices inversa, traspuesta, identidad…
Consejos:
– separar lo que tenga X a un lado y lo que no tenga X a otro
– A·X=B se despeja como X=A-1 · B («por donde se golpea a la X se golpea a la B») Error: X=B·A-1
– sacar factor común cuando se pueda X·A+X·B=X(A+B)
– A-1· A = I y A · A-1 = I
Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales de forma general (sin números)
$$a) AX = B \\ b) XA = B \\ c) AX + B = C \\ d) AXB = BA \\ e) XA + C = XB \\ f) AXA^t = A \\ g) AX – X = B \\ h) AXB = C \\ i) BXB = B(X+A)$$
Solución:
$$a) AX = B \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot B \rightarrow I \cdot X = A^{-1} \cdot B \rightarrow X = A^{-1} \cdot B$$
$$b) XA = B \rightarrow X \cdot A \cdot A^{-1} = B \cdot A^{-1} \rightarrow X \cdot I = B \cdot A^{-1} \rightarrow X = B \cdot A^{-1}$$
$$c) AX + B = C \rightarrow AX = C – B \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot (C – B) \rightarrow X = A^{-1} \cdot (C – B)$$
$$d) AXB = BA \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot B \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot B \cdot A \cdot B^{-1} \rightarrow X = A^{-1} \cdot B \cdot A \cdot B^{-1}$$
$$e) XA + C = XB \rightarrow XA – XB = -C \rightarrow X(A – B) = -C \rightarrow X = (-C)(A – B)^{-1}$$
$$f) AXA^t = A \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot A^t \cdot (A^t)^{-1} = A^{-1} \cdot A \cdot (A^t)^{-1} \rightarrow X = (A^t)^{-1}$$
$$g) AX – X = B \rightarrow (A – I)X = B \rightarrow (A – I)^{-1}(A – I)X = (A – I)^{-1} \cdot B \rightarrow X = (A – I)^{-1} \cdot B$$
$$h) AXB = C \rightarrow A^{-1} \cdot A \cdot X \cdot B \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1} \rightarrow X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$
$$i) BXB = B(X+A) \rightarrow B^{-1} \cdot BXB = B^{-1} \cdot B \cdot (X+A) \rightarrow XB = X+A \rightarrow X(B – I) = A \rightarrow X = A \cdot (B – I)^{-1}$$
Ejercicio: Resuelve las siguientes ecuaciones matriciales de forma general (sin números)
$$a) A^{-1}XB + C = I \\ b)(A + X)B = C \\ c)B(A^t + X) = C \\ d)AXB^{-1} + C = 0 \\ e)AX + BX = -C \\ f)AX + C = BX \\ g)XA + B = CA $$
Solución:
$$a) A^{-1}XB = I – C \rightarrow A \cdot A^{-1}XB \cdot B^{-1} = A \cdot (I – C) \cdot B^{-1} \rightarrow I \cdot X \cdot I = A \cdot (I – C) \cdot B^{-1} \rightarrow X = A \cdot (I – C) \cdot B^{-1}$$
$$b) (A + X)B \cdot B^{-1} = C \cdot B^{-1} \rightarrow (A + X) \cdot I = C \cdot B^{-1} \rightarrow A + X = C \cdot B^{-1} \rightarrow X = C \cdot B^{-1} – A$$
$$c) B^{-1} \cdot B \cdot (A^t + X) = B^{-1} \cdot C \rightarrow I \cdot (A^t + X) = B^{-1} \cdot C \rightarrow A^t + X = B^{-1} \cdot C \rightarrow X = B^{-1} \cdot C – A^t$$
$$d) AXB^{-1} = -C \rightarrow A^{-1} \cdot AXB^{-1} \cdot B = A^{-1} \cdot (-C) \cdot B \rightarrow I \cdot X \cdot I = A^{-1} \cdot (-C) \cdot B \rightarrow X = A^{-1} \cdot (-C) \cdot B$$
$$e) (A + B)X = -C \rightarrow (A + B)^{-1}(A + B) \cdot X = (A + B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow I \cdot X = (A + B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow X = (A + B)^{-1} \cdot (-C)$$
$$f) AX – BX = -C \rightarrow (A – B)X = -C \rightarrow (A – B)^{-1}(A – B) \cdot X = (A – B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow I \cdot X = (A – B)^{-1} \cdot (-C) \rightarrow X = (A – B)^{-1} \cdot (-C)$$
$$g) XA = CA – B \rightarrow XA \cdot A^{-1} = (CA – B) \cdot A^{-1} \rightarrow X \cdot I = (CA – B) \cdot A^{-1} \rightarrow X = (CA – B) \cdot A^{-1}$$